Lemme de Grönwall discret
Bonjour, un exercice de séries numériques niveau MP.
Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de réels positifs telles que $\sum_{n=0}^\infty {a_n} = 1$, la série de terme général $(b_n)$ converge et la série de terme général $(na_n)$ diverge.
1/ (FAIT) Montrer qu'il existe une unique suite réelle $(u_n)$ vérifiant pour tout $n$ :
$u_n = \sum_{k=0}^n{u_k a_{n-k} + b_n}$
2/ Montrer que $(u_n)$ est bornée.
3/ On suppose que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Montrer que $\ell=0$.
1/ (FAIT) Montrer qu'il existe une unique suite réelle $(u_n)$ vérifiant pour tout $n$ :
$u_n = \sum_{k=0}^n{u_k a_{n-k} + b_n}$
2/ Montrer que $(u_n)$ est bornée.
3/ On suppose que $(u_n)$ converge vers $\ell$. Montrer que $\ell=0$.
Je bloque sur la 2/ (je n'ai pas commencé à chercher la 3/, je l'ai écrite ici à titre indicatif pour ceux que ça intéresserait).
Merci d'avance.
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Réponses
Je n'ai pas compris cette indication.
Je ne suis pas sûr qu'il faille suivre plusieurs lièvres...À vous de voir.
1) le résultat pour la suite $b$ : $b_0=1,\ \forall n>0,\ b_n=0$
2) que la suite $(u_n)$ est un $O(C^n)$, où $C>1$.
(cette étape n'est pas indispensable mais elle est rassurante)
$ u_n = \frac{1}{1-a_0} \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k}u_k + \frac{1}{1-a_0} b_n $
$u_n < v_{n-1} +\frac{1}{1-a_0} b_n $
par positivité des termes et car
$\sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k} u_k <= v_{n-1} \sum_{k=0}^{n-1} a_{n-k} = v_{n-1} \sum_{k=1}^{n} a_{k} < 1-a_0 $
or
$0<= v_n - v_{n-1} <= u_n - v_{n-1} < \frac{1}{1-a_0} b_n $