Preuve de d'Alembert Gauss via la compacité — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Preuve de d'Alembert Gauss via la compacité

topopottopopot
Modifié (November 2022) dans Analyse
Bonjour,

Dans la démonstration ci-dessous, qu'est-ce qui justifie cette simplification (partie coloriée en jaune) ?



Réponses

  • JLapinJLapin
    Quite à remplacer $P(X)$ par $Q(X)=P(X+z_0)$, tu peux supposer sans perte de généralité que $z_0=0$.
    En effet, le polynôme $Q$ est toujours non constant, etc.
  • topopottopopot
    Ah en effet, mais du coup, l'argument surligné est moins clair que le tiens.
  • JLapinJLapin
    Mais fondamentalement, c'est le même : la translation ne change pas le degré du polynôme considéré et déplace juste la valeur où son module est minimal en $0$.
    Cela revient géométriquement à prendre $z_0$ comme origine du plan complexe à la place de $0$.
  • john_johnjohn_john
    Je trouve qu'une expression telle que par translation (...), supposons (...), même si elle se comprend, est du verbiage. 
  • JLapinJLapin
    Modifié (November 2022)
    Je suis d'accord : ça ne coûtait pas si cher de faire quelque chose de plus précis pour aider le lecteur.
    J'espère que mon explication n'était pas du verbiage :)
  • john_johnjohn_john
    Justement, ce n'est pas du verbiage mais au contraire c'est ce qu'il eût fallu écrire : quitte à , ou spdg, etc.
  • DomDom
    Modifié (November 2022)
    Ce qui fait bizarre c’est que l’on s’occupe de montrer l’existence d’un $\inf$ sur une boule de rayon $R$. 
    Ensuite, on parle d’une translation et le lecteur peut se demander « mézalors !!! par translation, on n’est peut-être plus dans cette boule ! ». 
  • LarsLars
    Modifié (November 2022)
    Bonsoir
    Cette preuve est très mal rédigée, car on ne comprend pas la motivation. Autant dire qu'elle sera vite apprise mais...encore plus vite oubliée.
    Pour la seconde partie, si on veut s'épargner l'étude locale (ce qui serait dommage), une intégrale à la "théorème de Parseval" termine la preuve. Je le suis emballé : en fait ça reviendrait à faire quasiment la preuve via le théorème de Liouville et il faudrait justifier l'analycité de $1/P$ et j'imagine que ça n'est pas dans le bagage...  
    "Par translation" ça me semble du détail...
  • DomDom
    Je ne savais pas comment le dire, mais c’est ça, on ne sait pas où l’on va (bon, j’imagine que dans énormément de copies, les correcteurs doivent parfois s’interroger sur « où veut aller le candidat ? »). 
    La présence du $|P(0)|$, par exemple, peut intriguer en première lecture (Pourquoi ?).  

    Anecdotique : $n$ n’est pas quantifié dans la limite, au tout début, après « En utilisant : » (je dis tout de même que c’est anecdotique à ce niveau).

    Est-ce issu de Gourdon ? La graphie m’y fair penser et je ne sais même pas s’il est dans main bazar.  
  • LarsLars
    Modifié (November 2022)
    Oui, j'imagine que c'est la limite du cours écrit versus le cours oral.
    Par ex. ici (étape 2 du lien), je trouve que c'est mieux expliqué.
    http://serge.mehl.free.fr/anx/th_alembert.html
  • DomDom
    Tu deviens agaçant de lire dans mes pensées 🤣
  • MagnéthoraxMagnéthorax
    Vu le style graphique, je penche pour du RDO.
  • jean-éricjean-éric
    Modifié (November 2022)
    @Dom

    C'est dans le Ramis-Deschamps-Odoux tome 1... Magnéthorax a déjà répondu...
  • DomDom
    👍
  • john_johnjohn_john
    En fait, tout le paragraphe est écrit avec les pieds : Montrons $|P(z_0)=0|$ c'est quoi-t-est-ce, ce français ? $|P(z_0|\leqslant |P(0)|$ est donc : (écriture fonétik ?). Sans compter la ponctuation massacrée  >:)
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