Décimales de $\sqrt{x}$
dans Arithmétique
Soit $x$ un entier naturel qui n'est pas un carré parfait ; tous les chiffres apparaissent-ils forcément dans la suite des décimales de $\sqrt{x}$ ?
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Réponses
Après il faudrait réussir à trouver une preuve simple et astucieuse...
NB : mais je ne suis pas capable de le démontrer.
Cela me donne l'idée d'une suite.
Si $a$ est un entier naturel strictement positif, $a^2+1$ n'est jamais un carré parfait. En effet, s'il existe un entier naturel $b$ tel que $a^2+1=b^2$ cela entraîne $(b+a)(b-a)=1$ mais $b+a>1$.
On peut aussi considérer la suite $w_n$ qui donne le nombre minimum de décimales de $\sqrt{n}$ qu'il faut calculer avant et après la virgule pour obtenir tous les chiffres de $0$ à $9$. Si on ne peut pas obtenir tous les chiffres, par exemple si $n=4$, $n=25,...$, on décide que pour ces valeurs $n$ les termes correspondant valent $0$.
Après on peut déjà tenter de démontrer pour 1 à 9
Sinon, sauf erreur, ce qui je pense serait plus simple à étudier pour instant serait la base 2 pour ta suite !
Ma question se limite à l'apparition de chacun des dix chiffres.
NB : $\displaystyle \{\}$ est la partie fractionnaire d'un réel.
On peut sûrement émettre la conjecture suivante.
Soit $m$ un entier naturel non nul.
Il existe $n$ tel qu'il faut calculer au moins $m$ décimales du nombre $\{\sqrt{n^2+1}\}$ pour qu'on ait tous les chiffres de $0$ à $9$.
Tous les $n$ inférieurs à $500000$ ne nécessitent pas de parcourir plus de $999$ décimales pour obtenir tous les chiffres de $0$ à $9$.
PS2.
Il faut faire \p 2000 pour s'assurer qu'on n'aura pas de dépassement de capacité.
Il faut donc attendre la $(11k+7)-$ième décimale de $\sqrt{10^{2k}+1}$ pour avoir vu chacun des 10 chiffres.
Est-ce que le carré d'un tel non décimal est non décimal, c'est bien ça ?
Donc je ne comprends pas trop comment appréhender pour moi ou pour vous, cette question. Vu que ça n'apparait pas dans vos réponses, c'est qu'il n'y en a pas beaucoup ou qu'ils sont trop éloignés pour être utilisables ici.
« si un nombre non décimal contient une infinité de chaque chiffre dans son écriture décimale, alors son carré est non décimal »
Je modifie en :
« si un nombre contient une infinité de chaque chiffre dans son écriture décimale, alors son carré est non décimal »
Cela dit, l’assertion de départ était moins gourmande.
$\sqrt{2}$ dit que non.
soit un tel nombre $r$ non décimal et qui contient au moins une fois chaque chiffre. On note $r=r_0,r_1r_2…r_k…$ son écriture décimale.
Comment obtiens tu ton résultat concernant
$10^{11k+7}\sqrt{10^{2k}+1}$ ?
Parce qu'il est quand même marrant !
$\displaystyle\sqrt{1+x}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{\binom{2n}{n}}{(2n-1)2^{2n}}x^n$, avec $x=10^{-2k}$.
Chaque décimale de plus va me demander une division $\frac{A}{u_n}$ de plus, puis une addition et une division par $2$.
La méthode type 'pseudo-division' prendra en tout 1 feuille.
Mais dans les faits, c'est globalement la méthode Héron qui est appliquée dans la pseudo-division.
Sauf erreur, on peut écrire l'algorithme de cette pseudo division ainsi :
$u_{n+1}=u_n + [ \frac{ A- u_n^2}{2 u_n} ]_n$
la suite $u_n$ étant forcément croissante, et chaque étape de cette suite me donnant exactement une nouvelle décimale, ni plus, ni moins.
la notation $[x]_n$ étant donc l'arrondi inférieur de $x$, avec $n$ décimales.
Remontons au 17ème ou 18ème siècle, on veut calculer une racine carrée avec plein de décimales. Le papier est une ressource rare et chère, mais indispensable pour poser des calculs. Dans ce contexte, la 'pseudo-division' est intéressante.
La méthode de Héron est connue depuis très longtemps, la méthode de pseudo-division a été enseignée (et utilisée ?) en alternative à la méthode de Héron, c'est la méthode préconisée il y a 1 siècle pour extraire une racine carrée ; il doit bien y avoir une raison, ce n'est pas par sadisme.
cf ce lien http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr/pages/truc_mat/textes/r_carree_anc.htm avec entre autres un extrait d'un manuel pour les enfants de 11 à 13 ans, où on explique comment extraire une racine carrée, avec cette méthode. Et dans la foulée, la racine cubique, la logique est la même.
Pour toute base $b$, les propositions suivantes sont équivalentes:
P1: Quel que soit $x$ naturel non carré, tout chiffre admet une occurrence dans l'écriture de $\{ \sqrt x\}$.
P2: Quel que soit $x$ naturel non carré, tout chiffre admet une infinité d'occurrences dans l'écriture de $\{ \sqrt x\}$.
D'accord?
Cordialement
Paul
Pour revenir sur l'algorithme de division, il me semble qu'il est un peu plus pénible à la main que la division euclidienne mais c'est peut-être seulement une question de pratique.
Surtout, pour celui de Héron, une remarque simple permet de réduire les calculs. Dans l'idée, à la $k$-ième étape, comme on n'espère pas plus de $2^k$ chiffres corrects, il n'est pas utile de pousser les calculs jusqu'à 30 décimales. Cela permet de manipuler des nombres de taille croissante plutôt que faire des divisions avec 30 décimales à chaque fois. Il faudrait préciser, quantifier et mettre en place...
Apparemment, il y a un siècle, on enseignait l'extraction de racine carrée aux enfants de 11 ans. Surprenant, mais partons de cette hypothèse. Les enfants qui apprenaient ça pouvaient faire une série d'exercices, et acquérir une maitrise suffisante pour que la technique soit performante.
Je pense que si on enseignait ça, ce n'était pas pour un plaisir théorique, c'était concret, c'était un truc que certains pouvaient utiliser de manière plus ou moins courante.
Ce ne sont que des hypothèses, j'essaie de trouver une cohérence dans les informations dont on dispose.
Soit $x$ naturel non carré tel que le chiffre $c$ apparaît un nombre fini de fois dans $\{\sqrt x \}$. Soit $d$ le rang de sa dernière occurrence. Alors $c$ n'est pas une décimale de $\{\sqrt {10^{2d}x }\}$.