Limite finie à l'infini

Bonsoir tout le monde, j'ai besoin d'aide! j'ai un problème dans la définition de la limite au voisinage de $+\infty$. Je suis vraiment perdu.

Parfois je trouve ça :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\ \exists M \in \R,\ \forall x \in I,\ (x>M \Rightarrow |f(x)-\ell |< \epsilon)$
Parfois ça :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\ \exists M >0,\ \forall x \in I,\ (x>M \Rightarrow |f(x)-\ell |< \epsilon)$
Parfois ça :
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = \ell \Leftrightarrow \forall \epsilon >0,\ \exists M \geq a ,\ \forall x \in I,\ (x>M \Rightarrow |f(x)-\ell |< \epsilon)$

Je ne comprends pas la différence et quand utiliser $\exists M \in \R$ ou $\exists M >0$ ou $\exists M \geq a$ ?
Dans un exercice, on a une fonction définie sur $\R^+$, on a choisit $I= [a, +\infty[$ et on a utilisé la première définition $(\exists M \in \R)$ ?