Sinon, on peut intégrer plein de fois l'inégalité $\cos \leq 1$ pour en déduire $ \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120}\leq x- \sin x\leq \frac{x^3}{6}$ pour tout $x$ positif.
raoul-s t'a menti ; on applique la règle de l'Hôpital seulement deux fois et si tu connais l'équivalent de référence en 0 de cos x-1, tu l'appliques une fois
@raoul-s Si on dérive deux fois, on tombe sur $\frac {-1}6 \frac {\sin(x)}{x}$. Mais tu ne peux pas appliquer la règle pour démontrer $\lim_{x\to 0}\frac {-1}6 \frac {\sin(x)}{x}=\frac {-1}6$ Le diable se cache dans les détails
Non mais moi je démontre que $\sin$ est dérivable, de dérivée $\cos$ en utilisant un théorème bien connu sur les séries entières donc j'ai le droit d'utiliser la règle de l'Hopital
Tu m'as dit en MP que c'est parce que tu dois savoir dériver le sinus et pour démontrer que la dérivée du sinus est bien un cosinus, on a besoin dans la démonstration de savoir à l'avance que la limite en 0 de sin x/x est 1. Le raisonnement est cyclique
OK mais dans ce cas on ne peut même pas appliquer l'Hôpital une fois, car déjà pour la première fois on doit savoir dériver le sinus.
raoul, on peut pour la première fois car on a un preuve géométrique que le sinx / x tend vers 1 quand x tend vers 0 ( donc par de problème pour dériver un sinus ou un cosinus ) @JLapin quand même, ici on parle d'un niveau basique sans dl, sans série. les prof au Lycée commettent cette faute
On a une preuve géométrique pour la limite de sinx /x en 0, donc on sait dériver le sinus ou cosinus . Donc on dérive une première fois et une deuxième fois et on tombe sur la limite 1-/6 sin x / x en 0 mais pourquoi dériver une troisième fois pour calculer cette limite puisque c'est déjà démontré ( et sans utiliser la dérivée de sinus ou cosinus). Si tu dérives une troisième pour calculer cette limite, tu rends ton raisonnement cyclique . A toi de voir, je ne peux expliquer mieux
Oui effectivement je vois. Bon je dois dire qu'au début, lorsque j'ai proposé l'Hôpital, je partais du principe qu'on avait déjà la dérivée à disposition, mais tu es plus diabolique que moi gebrane...
Anectode, Au Lycée ( je me rappelle bien) le prof a demandé de calculer $i^2+1$, normalement il fallait répondre $i^2+1=-1+1=0$, mais j'ai répondu : $i$ est une des racines de l'équation $x^2+1=0$ . Donc, $i^2+1=0$. Il a faillit arracher ses cheveux (disons j'étais parmi ces étudiants brillants). J'avais raisonné comme suit $\Delta= 0^2-4=-4<0$ donc une des racines est $\frac{0+2i}2=i$, donc $i^2+1=0$. Question, est-ce que mon raisonnement était circulaire
Gebrane, ton raisonnement était circulaire. Comment étais-tu passé de $\Delta = -4$ à la valeur de la racine ? (sans savoir que $i^2=-1$ c'est à dire que $i^2+1=0$ ?) Cordialement.
Pour créer un équilibre je dis comme Q37, c'est mon champion. Normalement le $i$ en Lycée est définie comme un être mathématique vérifiant la propriété $i^2=-1$.
Moi, au lieu d'avoir utilisé le raisonnement si $i^2=-1$ alors $i^2+1=+1-1=0$, j'avais utilisé un raisonnement détourné que j'ai expliqué en haut bien sûr en utilisant la définition de $i$, donc ce n'est pas circulaire comme raisonnement !
Pourtant dire que $i^2=-1$ n'est-ce pas dire que $i$ est la solution d'une équation ? Qui est justement celle dont on parle ... Il est vrai qu'un lycéen ne voit pas toujours que c'est la même équation.
C'est déjà une façon ultra-compliquée de traiter un problème immédiat. C'est bien du Gebrane !
Mais plus grave, le point de départ ("$i$ est une des racines de l'équation $x^2+1=0$" est simplement l'utilisation de la conclusion dite autrement !! Donc erreur grave de logique !
On a une définition de $i$. On a un théorème de résolution des équations du second degré.
Utiliser la définition pour former une équation puis appliquer le théorème pour résoudre cette équation ne pose pas de problème de circularité. Ça pose un problème de « faire compliqué quand on peut faire simple » et peut-être aussi « prendre un marteau pour écraser une mouche ».
Réponses
Le raisonnement est cyclique
OK mais dans ce cas on ne peut même pas appliquer l'Hôpital une fois, car déjà pour la première fois on doit savoir dériver le sinus.
@JLapin quand même, ici on parle d'un niveau basique sans dl, sans série. les prof au Lycée commettent cette faute
Pour appliquer l'Hôpital la première fois tu as besoin de savoir que $\sin'(x)=\cos(x)$ non ?
Question, est-ce que mon raisonnement était circulaire
ton raisonnement était circulaire. Comment étais-tu passé de $\Delta = -4$ à la valeur de la racine ? (sans savoir que $i^2=-1$ c'est à dire que $i^2+1=0$ ?)
Cordialement.
Moi, au lieu d'avoir utilisé le raisonnement si $i^2=-1$ alors $i^2+1=+1-1=0$, j'avais utilisé un raisonnement détourné que j'ai expliqué en haut bien sûr en utilisant la définition de $i$, donc ce n'est pas circulaire comme raisonnement !
On a un théorème de résolution des équations du second degré.