Deux limites pour la rentrée

Philippe Malot
Philippe Malot
Modifié (November 2022) dans Analyse
  1. Si $n\in\N^{\ast}$,  montrer que $\displaystyle S_n=\sum_{m=1}^{+\infty}\dfrac nm\sin\left(\dfrac 1{nm}\right)$ est une série convergente.
  2. Montrer que $(S_n)_{n\in\N^{\ast}}$ est convergente de limite $\zeta(2)$.
  3. Montrer que $\left(n^2\left(\zeta(2)-S_n\right)\right)_{n\in\N^{\ast}}$ est convergente et déterminer sa limite.
Bonne reprise à tous !

Réponses

  • etanche
    etanche
    Modifié (November 2022)
    @ Philippe Malot pour le 3/ est-ce que c’est $\frac{\zeta(3)}{6}$ ?
    Oubli d'une puissance c'est bien $\frac{\zeta(4)}{6}$.
  • Quentino37
    Quentino37
    Modifié (November 2022)
    Pour la 2, on a $\displaystyle S_n=\sum_{m=1}^{+\infty}\dfrac nm\sin\left(\dfrac 1{nm}\right)=\sum_{m=1}^{+\infty}\frac {nm}{m^2}\sin\left(\dfrac 1{nm}\right)$.
    Et donc évidemment quand $n$ tend vers Infini ça tend vers $\zeta(2)$.
    Je suis donc je pense 
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    @etanche : ce n’est pas ce que je trouve (j’ai une autre valeur de zêta).
    @Quentino37 : en quoi cette écriture montre-t-elle de façon évidente que la suite converge vers $\zeta(2)$ ?
  • Quentino37
    Quentino37
    Modifié (November 2022)
    Oui pour la 3 c'est zeta de 4 sur 6 Je vais en cours je réponds plus tard !
    Je suis donc je pense 
  • Math Coss
    Math Coss
    Modifié (November 2022)
    Je suppose que @Quentino37 utilise $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{m\ge1}=\sum_{m\ge1}\lim_{n\to\infty}$, ce qui est plausible mais un peu rapide.
  • Quentino37
    Quentino37
    Modifié (November 2022)
    En faite non j’ai juste utilisé le développement en série de sin(x) puis la limite devient évidente(et ainsi on peut montrer que la somme du truc en plus qui tend vers zéro tend vers zéro)
    Je suis donc je pense 
  • Math Coss
    Math Coss
    D'accord. On peut utiliser le fait que $|\sin u-u|\le|u|^3/6$, de sorte que \[\bigl|S_n-\zeta(2)\bigr|\le\sum_{m\ge1}\frac{1}{6n^2m^4},\]et si on pousse un cran plus loin ($|\sin u-u+u^3/6|\le |u|^5/120$) on trouve en effet $\zeta(4)/6$.
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    On peut également utiliser la convergence dominée pour la première limite, voire la convergence monotone.
  • JLapin
    JLapin
    Voire le théorème de double limite.
  • jandri
    jandri
    On a aussi $S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k\dfrac{\zeta(2k+2)}{(2k+1)!n^{2k}}$ qui fournit un développement asymptotique à tout ordre.
  • Positif
    Positif
    Modifié (November 2022)
    À l’école on nous a appris que sinus, log et exp $\Rightarrow$ développement limité , et pour les gens vraiment intelligents : des inégalités de convexité.
    Je trouve donc $\frac{\zeta(4)}{6}$.
    ---> I believe in Chuu-supremacy : https://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
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