Exp(x)=somme de x^n/n!

Bethebesteveryday · November 2022

Bonsoir tout le monde.
s’il vous plait est ce que vous pouvez m’aider à démontrer que exp(x)=somme de x^n/n!

Rescassol · November 2022

Bonsoir,

Quelle est ta définition de $\exp(x)$ ?

Cordialement,
Rescassol

Dom · November 2022

Comme demandé par Rescassol, pour démontrer qu’un Truc est égal à Machin, il faut d’abord savoir ce qu’est Truc.

Ici, quelle définition donnes-tu à $Exp$ ?
Il existe plusieurs possibilités… ce doit être dans le cours…
1) équation différentielle ? (et condition initiale)
2) équation fonctionnelle ? (et hypothèse de régularité)
3) fonction réciproque de $\ln$ ?
4) fonction obtenue par la méthode d’Euler (je dis « la »… )

JLapin · November 2022

@Bethebesteveryday

utilise l'inégalité de Taylor-Lagrange.

jean lismonde · November 2022

Bonjour

Tu sais que l'exponentielle de base "e" (2,718....) est la seule fonction définie, continue de variable réelle x
admettant des dérivées successives égales à elle-même

tu connais le développement de Mac-Laurin cas particulier (pour a = 0)
du développement de Taylor à partir du point A d'abscisse a
le développement de Mac-Laurin se présente ainsi

$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) + .............+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+....$

tu calcules les dérivées successives de exp(x) pour x = 0 et tu obtiens la relation recherchée

Cordialement

ev · November 2022

jean lismonde a dit :
Tu sais que l'exponentielle de base "e" (2,718....) est la seule fonction définie, continue de variable réelle x
admettant des dérivées successives égales à elle-même

Moi je ne savais pas.
e.v.

julian · November 2022

Formule de Taylor avec reste intégral.

julian · November 2022

Effacé

Dom · November 2022

Disons que la phrase n’est pas exacte si l’on regarde par exemple la fonction nulle.

julian · November 2022

X variable bien entendu.

lourrran · November 2022

Dans la définition de Jean Lismonde, il manque : et telle que f(0)=1
Quand on rajoute ça, ça devient une méthode valable pour faire l'exercice. Me semble-t-il.

julian · November 2022

Soit.

math2 · November 2022

"valable" : non, sauf si l'on explique en plus que le reste tend bien vers $0$, donc c'est pour cela que je préfère (dans l'esprit d'utiliser cette formule) la suggestion de JLapin.

Appliquant la "méthode" de jean, je "démontre" sans problème que $1/e$ est égal à $0$ (en évaluant en $1$ le développement de Mac-Laurin de la fonction $x\mapsto e^{-1/x^2}$ convenablement prolongée en $0$) ...

Quentino37 · November 2022

Il le semble qu'il existe une méthode simple (sans passer la la formule d'Euler Maclaurin) où l'on prend une suite intégrale et on fait une récurrence puis on calcule la limite de cette suite d'intégrale, on obtient un truc du style $\displaystyle1-e^{-x}\sum_{n=0}^{k}\frac{x^n}{n!}$ quand $n$ tend vers infini et sans la récurrence par encadrement on obtient que ça tend vers zéro après je ne me souviens plus du tout de intégrale utilisée j'ai une très mauvaise mémoire...

Dom · November 2022

Tant que l'on ne sait pas ce qu'est la fonction exponentielle, on ne peut pas tenter de démontrer quoi que ce soit.

JLapin · November 2022

C'est évident que $\exp$ n'est pas défini par la série sinon, la question n'a pas de sens.

Il est tout aussi clair que $\exp$ est définie comme la fonction bien connue des lycéens.

Dom · November 2022

Oui, j’avais à l’idée que c’était bien « exp’=exp » et valant $1$ en $0$.

C’était surtout pour l’auteur. Je me souviens parfois essayer de démontrer une égalité en ne sachant pas « partir du début ».

JLapin · November 2022

En même temps, l'auteur semble être parti en vacances dans une zone blanche trois minutes après avoir posé sa question...

Foys · November 2022

Dans ce message on suppose connues:

(i) la définition d'une dérivée par des limites (et les propriétés: pour toute fonction dérivable et tous $x,y$ tels que ça ait du sens, $f'(x+y) = g'(y)$ avec $g:= t\mapsto f(x+t)$ ainsi que $x f'(y) = h'(y)$ avec $h:= s \mapsto f(xs)$).

(ii) le fait que pour tous $a,b$ réels tels que $a\leq b$ et toute fonction dérivable $f:[a,b] \to \R$ telle que $f(a)=0$, si pour tout $x\in [a,b]$, $f'(x) \geq 0$, alors pour tout $x\in [a,b]$, $f(x) \geq 0$.

(iii) la convergence des suites monotones.

A)

1°) Soient $a,b$ réels avec $a\leq b$, $n\in \N$, $f:[a,b] \to \R$, une fonction $n$-fois dérivable telle que $f^{(k)} (a) = 0$ pour tout entier $k$ tel que $0\leq k \leq n-1$, et telle que $f^{(n)} (x) \geq 0$ pour tout $x\in [a,b]$. Alors pour tout $x\in [a,b]$, $f(x) \geq 0$.

Preuve: le résultat se montre par récurrence sur $n$ en appliquant (i) ci-dessus, le cas où $n=0$ étant évident.

2°) Soient $a,b$ des réels comme ci-dessus et $g$ une fonction $n$ fois dérivable de $[a,b]$ dans $\R$. On suppose qu'il existe deux réels $m,M$ tels que pour tout $x\in [a,b]$, on a $m \leq g^{(n)}(x) \leq M$. Alors pour tout $x\in [a,b]$, $m\frac {(x-a)^n} {n!} \leq g(x) - \sum_{k=0}^{n-1} g^{(k)}(a) \frac{(x-a)^k}{k!} \leq M\frac {(x-a)^n} {n!} $

Preuve: les deux membres de cette inégalité se prouvent avec 1°) appliqué, pour le membre de gauche, à la fonction $x\mapsto g(x) - m\frac {(x-a)^n }{n!} - \sum_{k=0}^{n-1} g^{(k)} (a)$ et pour le membre de droite, à $x\mapsto M \frac{(x-a)^n}{n!} - g(x) + \sum_{k=0}^{n-1} g^{(k)}(a) \frac{(x-a)^k}{k!}$.

NB: il découle immédiatement de 2°) (en fait de 1°) qu'une fonction ayant une dérivée nulle partout est constante.

3°) Soit $u$ une application dérivable de $\R$ dans $\R$ telle que $u(0) = 1$ et telle que pour tout $x\in \R$, $u'(x) = x$. Alors:

3.1°) pour tous $x,y$ réels, $u(x+y) = u(x)u(y)$ (fixer $x$ et appliquer la remarque faisant suite à 2°) ainsi que (i) en notant que $y\mapsto u(x+y)u(-y)$ a une dérivée nulle)

3.2°) $u(x) \geq 0$ pour tout $x\in \R$ (c'est égal à $\left ( u \left ( \frac x 2\right ) \right )^2$) d'après 3.1°)

3.3°) $u$ est croissante (sa dérivée est positive, puis appliquer 1°).

3.4°) Pour tous $a,x,b$ tels que $a\leq x \leq b$, $u(x) - u(a) \sum_{k=0}^n \frac {(x-a)^k}{k!} \in \left [ u(a) \frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}, u(b) \frac {(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}\right ]$ (pour tout $n\in \N$, $u$ est évidemment $n$ fois dérivable avec $u^{(n)} (x) = u(x)$ pour tout $x$ et on applique 2°) )

3.5°) pour tout $t$ réel, $\frac {t^n} {n!}$ tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini (voir paragraphe suivant ou bien -exo - le déduire de ce qui précède).

On en déduit la limite et l'égalité $u(x) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac {x^k}{k!}$ pour tout $x\in \R$ (la graphie $\sum_{k=0}^{+\infty}$ faisant référence à un simple passage à la limite et non pas à des considérations d'intégration ou de familles sommables).

################

B )

Dans cette partie on montre l'existence d'une fonction $u$ comme au A.3°). Seuls A.1°), A.2°) et les résultats du préambule sont utilisés.

Pour tout entier $n$ et tout $x\in \R$, on définit $P_n(x):= \sum_{k=0}^n \frac {x^k}{k!}$ et $Q_n(x):= \frac{x^n}{n!} + P_n(x)$

1°) Soit $x>0$. Alors

1.1°) pour tout $n$, $P_n(x) \leq P_{n+1}(x) \leq Q_{n+1} (x)$ et pour tout $n \geq 2x-1$, $Q_{n+1} (x) \leq Q_n(x)$ (calculs directs).

1.2°) On en déduit que $n\mapsto P_n(x)$ est une suite croissante et majorée (par $Q_{\lfloor 2x \rfloor} (x)$). Donc cette suite converge vers une limite que nous noterons $\exp(x)$.

1.3°) (qui prouve 3.5°) $\frac {x^n}{n!}$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. En effet c'est le terme d'une série à termes positifs qui converge (on a évidemment $\frac {x^n}{n!} \leq \exp(x) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{x^k}{k!}$ pour tout $n\geq 1$).

1.4°) $\exp(0)=1 = P_n(0)$ pour tout $n\in \N$.

1.5°) $\exp(x)>0$ (car $\exp(x) \geq P_n(x) \geq 1$ pour tout $n$; rappelons que $x\geq 0$ par hypothèse)

2°)

2.1°)Pour tout $n\in \N$, $P_n$ est dérivable; pour tout $t\in \R$ et tout $n\in \N$, $P'_{n+1}(t) = P_n(t)$ (calculs).

2.2°) Pour tout $t\geq 0$, $P_n(t) \geq 0$ et donc par ce qui précède et A.2°) (remarque), pour tout entier $n\geq 1$, $P_n$ est croissante sur $[0,+\infty[$ (et en fait pour $n=0$ aussi car c'est la fonction constante égale à $1$).

2.3°) Pour tous $a,b\in \R$ tels que $0 \leq a \leq x \leq b$ et tout $k \in \N$, on a $$P_k (a) \frac {(x-a)^2} {2} \leq P_{k+2}(x) - P_{k+2} (a) - (x-a) P_{k+1} (a) \leq P_k (b) \frac {(x-a)^2} {2}$$ (cf A.2°) avec $n=2$ et utiliser la croissance de $P_k$ sur $[0,+\infty[$)

En faisant un passage à la limite dans l'inégalité précédente on en déduit:

2.4°) Pour tous $a,x,b$ avec $0\leq a \leq x \leq b$, $\exp(a)\frac {(x-a)^2}{2} \leq \exp(x) - \exp(a) - (x-a) \exp(a) \leq \exp(b) \frac {(x-a)^2}{2}$.

2.5°) Pour tout $a > 0$, $exp$ est dérivable en $a$ (resp. est dérivable à droite en $0$) de dérivée $\exp(a)$ (resp 1) (preuve: utiliser 2.4°) et la définition de dérivée par des limites).

3°) Soient $x,y$ deux réels positifs et pour tout $t\in [0,+\infty[$, $f(t):= \frac {\exp(x+ty)}{exp(ty)}$ (c'est bien défini par B.1.5°).

Alors $f$ est dérivable de dérivée nulle et donc constante (A.2° remarque). Donc pour tout $t\in \R$, $f(t)=0$ c'est-à-dire $\exp(x) = \frac {\exp (x+y)}{\exp (y)}$. Autrement dit $\exp(x+y) = \exp(x) \exp(y)$.

4°) (Définition de $\exp$ pour des nombres négatifs).

4.1°) Soit $x\in \R$ un réel quelconque. Soient $a,b,c,d$ des réels positifs tels que $b-a = d-c = x$. Alors $b+c= a+d$ et donc $$\frac {\exp (b)}{\exp (a)} = \frac{\exp (b) \exp (c)}{\exp(a) \exp(c)} = \frac{\exp(b+c)}{\exp(a) \exp(c)} = \frac{\exp(a+d)}{\exp(a) \exp(d)}= \frac {\exp(a) \exp(d)}{\exp(a) \exp(c)} = \frac{\exp(d)}{\exp(c)}$$.

Il est donc possible de définir $\exp(x)$ pour tout $x$ réel en prenant n'importe quel couple de nombre réels $p,q$ tels que $x=p-q$, par la formule $\exp(x):= \frac {\exp p}{\exp q}$. Cette définition est sans ambiguïté par ce qui précède (et un tel couple existe toujours, par exemple $p:= \max (0,x)$ et $q:= \max (0, -x)$).

Cette définition prolonge la définition de $\exp$ sur les nombres positifs (car pour tout $t\geq 0$, $t=t+0$ et $\exp(0) = 1$)

4.2°) Pour tous $x,y\in \R$, $\exp (x+y) = \exp(x) \exp (y)$. Pour le voir, prendre $s,t,u,v$ réels positifs tels que $x=t-s$, $y = v-u$. Alors $x+y = t+v - (s+u)$ et donc par ce qui précède, $$\exp(x+y) = \frac{\exp(t+v)}{\exp(s+u)} = \frac{\exp (t) \exp(v)}{\exp (s) \exp(u)} = \frac{\exp (t)}{\exp(s)} \frac{\exp(v)}{\exp(u)} = \exp(x) \exp(y)$$

4.3°) Pour tout $x\in \R$, $\exp$ est dérivable en $x$ et $\exp'(x)= \exp(x)$

Soit $a:= -|x|-1$. Alors $x = (x-a)+a$ et donc $\exp(x) =\exp(a) \exp(x-a)$; de plus $x-a \geq 1$. La fonction $t\mapsto \exp(a)\exp(t)$ est dérivable sur $[0,+\infty[$ et égale à sa propre dérivée, en remplaçant $t$ par $x-a$ et en appliquant les remarques de (i) dans l'introduction, on en déduit que $y\in [a,+\infty[ \mapsto \exp(y) = \exp(a)\exp(y-a)$ est dérivable, égale à sa propre dérivée et le résultat suit en posant $y:=x$.

gai requin · November 2022

Un autre cheminement :
1) Pour tout $x$ réel, les suites $\left((1+\frac x n)^n\right)$ et $\left((1-\frac x n)^{-n}\right)$ sont adjacentes.
On définit alors $\exp(x)$ comme leur limite commune.
2) $x\mapsto\exp(x)$ est dérivable sur $\R$, où $\exp'=\exp$.
3) Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\R$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
C'est $\exp$ d'après ce qui précède.
4) $g:x\mapsto\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}$ est dérivable sur $\R$, où $g'=g$ et on a $g(0)=1$.
Donc $g=\exp$.

Exercice : Soit $x,y\in\R$ et $z=x+iy$.
Par cohérence avec ce qui précède, on pose $\exp(z):=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}$.
Montrer que $\left((1+\frac z n)^n\right)$ converge vers $\exp(z)$ et en déduire que $\exp(z)=\exp(x)(\cos y+i\sin y)$ (Euler).

gebrane · November 2022

Merci Foys

JLapin · November 2022

Désolé mais toutes ces jolies constructions de cours sur l'exponentielle ne sont-elles pas complètement hors-sujet par rapport à la question initiale qui est un exercice BAC+1 d'application d'une formule de Taylor ?

Dom · November 2022

Nous aurions aimé que l’auteur repointe son nez.

Foys · November 2022

JLapin a dit :

Désolé mais toutes ces jolies constructions de cours sur l'exponentielle ne sont-elles pas complètement hors-sujet par rapport à la question initiale qui est un exercice BAC+1 d'application d'une formule de Taylor ?

Sans définition ou propriété de exp rien n'est possible. Il y a dans le vrac ci-dessus une preuve du résultat visé à partir de exp comme solution d'une certaine équation différentielle. Quant à "BAC+1" on se demande ce que ça veut dire. Dans les années 90 l'étudiant de L1 aurait déjà tout en sa possession mais aujourd'hui (le refus assumé de donner des définitions étant devenu une vertu pédagogique), à part une preuve en agitant les mains et en supposant le résultat visé en cachette je ne vois pas trop ce qui est possible.

JLapin · November 2022

Il y a un programme du lycée et à la fin du lycée, un étudiant connait une fonction qui s'appelle $\exp$.

Ensuite, il voit un cours sur les formules de Taylor et en exo d'application l'exo du message initial. Rien que de très normal, en 1990 comme en 2022.

Ta réponse serait parfaite si l'OP était un candidat à un concours de recrutement d'enseignant qui travaille la leçon "fonction exponentielle". Elle est hors-sujet ici à mon avis.

Foys · November 2022

JLapin

OP est parti, mais je m'exprime aussi pour les autres lecteurs.

Apparemment, le programme du lycée dit que exp est l'unique solution de l'équation différentielle d'inconnue $x$: $x(0)=1$ et $x'=x$. La partie $A$ de mon message est utilisable. Noter que dans sa fiche, OP indique "certifié".

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

JLapin · November 2022

Foys a dit :Noter que dans sa fiche, OP indique "certifié".

Effectivement : désolé !

Et bravo pour cette synthèse très complète !

Exp(x)=somme de x^n/n!

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