Continuité par morceaux sur un intervalle
Dans plusieurs cours (et wikipédia), il est écrit qu'une fonction $f$ est continue par morceau sur un intervalle $I$ si elle est continue par morceau sur tout segment inclus dans $I$
Ainsi, la fonction $f$ définie sur l'intervalle semi-ouvert $]0,1]$, par $f(x)=\frac1n$ pour $x\in ]\frac{1}{n+1},\frac1n]$ pour $n\geq 1$ est continue par morceau. N'est-ce pas étrange ? Son extension naturelle à $[0,1]$ n'est pas continue par morceau, bien que continue en $0$.
Il me semble qu'une fonction continue sur un intervalle borné quelconque devrait être la même que celle du segment, avec une subdivision finie. Et si l'intervalle n'est pas borné, alors la subdivision doit être localement finie. Vous avez des références sur ce point précis ? Il me semble que les anglo-saxons utilisent plutôt cette définition ci.
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Réponses
Autre exemple :
$x\mapsto 1/x$ est continue par morceaux sur $]0;1]$ mais ne peut pas être prolongée en une fonction continue par morceaux sur $[0;1]$.
Je vais chercher une référence (wikipedia en parle rapidement comme je le disais en tout cas) sur le sujet.
Je sais bien qu'il y a des bizarreries anglo-saxonne mais là ça n'est pas le cas à mon sens. C'est même plutôt l'inverse.
1- f est continue par morceaux sur le segment [a,b] si f est continue sur [a,b] sauf en un nombre fini de points $c_i$ où $f(c^+_i)$ et $f(c_i^-)$ existent et finies
2- f est continue par morceaux sur un intervalle $I$ si f est continue par morceaux sur chaque segment de $I$
Mes définitions sont-elles à jours ?
Ce sont en effet les définitions que l'on trouve partout (pour la 1) on trouve plutôt "sur chaque intervalle ouvert la fonction coincide avec une fonction continue sur le fermé" (on ferme les crochets quoi...).
Chris59
Je comprends cette idée pénible qu'en ajoutant un point, ça ne rentre plus dans "continue par morceaux". Cependant quelle définition serait commode ?
Si l'on ne se permet qu'un nombre fini de discontinuités, alors on perd des fonctions du coup au lieu d'en ajouter.
Si j'ai bien compris c'est plutôt pour étendre l'intégrale de Riemann aux intervalles semi-ouverts, ouverts, voire non bornés c'est-à-dire aux intégrales généralisées.