Construction
Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves
Encore un exercice tiré de l'Iliovici et Robert.
Exercice C334, 3°, page 364
Je le donne en toute candeur ne l'ayant pas fait mais son énoncé me plait.
A comparer avec ceux du Lebossé-Hémery
Construire une parabole connaissant la tangente au sommet, une tangente et un point.
Amicalement
pappus
Réponses
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Une façon originale de dire qu'on connaît le point à l'infini.
Donc deux points, trois tangentes (avec la droite de l'infini), le compte est bon.
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Merci Gai RequinOui le compte est bon mais tu parles pour ta paroisse.C'est largement insuffisant!On est devant un problème destiné à des bacheliers des années trente qu'ils devaient résoudre avec les moyens du bord c'est-à-dire le cours de la classe de Mathématiques de l'époque!Ils ouvraient leur livre au chapitre de la parabole, le lisaient avec la plus grande attention et ensuite advienne que pourra!Maintenant du point de vue projectif, cela revient comme tu le dis à construire une conique connaissant deux tangentes, une tangente pointée et un point.Mais il ne suffit pas de le dire, il faut la faire cette construction projective et ensuite, seulement ensuite interpréter cette construction pour le cas de la parabole!On peut déjà prévoir ce qui va se passer!La parabole ayant disparu de nos radars, normalement aucun de nos étudiants $\lambda$ ne peut faire cette construction euclidienne!A fortiori la géométrie projective s'étant fait la malle depuis belle lurette, ils ne pourront pas plus trouver la construction projective que tu suggères!Tout ce qu'ils peuvent faire à la rigueur, c'est de se vautrer dans les points alignés et les droites concourantes!Passe une bonne nuit et fais de beaux rêves.Amicalementpappus
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Bonjour à tousSur la figure ci-dessous, les données apparaissent en rouge.Les paraboles construites le sont en noir.Cela c'est le vingt et unième siècle.Mais même cela, la plus grande partie de nos étudiants sinon la totalité sera bien incapable de le tracer et ne parlons pas de leurs enseignants.Il y a un siècle, on ne traçait rien. On se contentait d'exhiber les foyers des paraboles à construire et tout le monde était heureux, heureux!Les seules coniques qu'on pouvait voir étaient celles qui apparaissaient dans les livres comme le Lebossé-Hémery par exemple et je me suis toujours demandé comment elles étaient tracées à une époque où on n'existait aucun logiciel de géométrie dynamique.Je suis à peu près sûr que ces coniques étaient dessinées au petit bonheur la chance!Amicalementpappus
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(Erreur ! Je retire ma construction et m'y remets --- c'était d'ailleurs trop simple pour être juste)
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Bonjour,
J'ai obtenu une construction d'une parabole dont je ne sais pas trop quoi penser, car elle me fait dire qu'il y a une certaine redondance dans l'énoncé.
Je me donne le sommet $S$ de la parabole, sur la droite $(D)$. Je contrôle la tangente par son intersection $A$ avec la perpendiculaire à $(D)$ en $S$ et par sa direction (point $t$ sur le cercle en pointillés).
Puis je prends un point $K$ variable sur $(AS)$ pour définir une directrice : la perpendiculaire à $(AS)$ en $K$, et un foyer : le symétrique $F$ de $K$ par rapport à $S$. La parabole obtenue est en bleue sur la figure.
Où doit être le point de contact de la parabole recherchée avec la tangente ? C'est l'intersection $P$ de la tangente avec la perpendiculaire à $(AS)$ passant par le symétrique $A'$ de $A$ par rapport à $S$.
Ensuite je trace la perpendiculaire à $(PF)$ qui passe par $F$ et je prends son intersection $N$ avec la directrice.
Je trouve le lieu de $N$ quand $M$ varie sur $(AS)$ : une parabole passant par $A$, $S$, $N$, parabole dont on peut construire le sommet $S'$ à partir d'une position particulière de $F$ (le milieu $m$ de $[SA']$). Cela permet de la tracer avec l'outil conique par cinq points.
Cette parabole passant par $A$ recoupe la tangente en $L$, point appartenant à la directrice recherchée (en orange). J'ai aussi tracé la parabole solution associée en orange.
Je n'ai pas eu besoin du point $M$... j'ai donc du louper un truc.
Amicalement, Ludwig
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(j__j, le retour)
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Nous voici revenus sur le plancher des vaches 2D
Le foyer $F$ appartient à la perpendiculaire à la tangente donnée $(T)$ en le point où elle rencontre la tangente au sommet $(T_0)$ ; en outre, le milieu $f$ de $[MF]$ appartient à la parabole de foyer $M$ et de directrice $(T_0)$. Cela fait $0,1$ ou $2$ foyers possibles, avec une petite discussion à la clef. -
Merci j_jOui, il y a 0,1 ou 2 solutions.C'est donc un problème du second degré.Il y a d'autres variantes mais la tienne vaut bien les autres.Il ne reste plus qu'à l'expliquer clairement à tes lecteurs et à faire cette petite discussion!Enfin, le plus important, c'est de faire le lien avec ce que nous a dit gai requin et qui devrait nous mener à une construction projective!Amicalementpappus
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Ce sera après les séances de cinéma
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Bonjour à tousEn fait pour être en parfaite harmonie avec la situation projective décrite par gai requin, il faudrait poser ce problème de construction de parabole de la façon suivante:Construire une parabole connaissant un point, deux tangentes et sa direction asymptotique.Effectivement se donner la tangente au sommet cache le fait que cela entraine la connaissance de la direction asymptotique de la parabole et gai requin, le petit malin s'en est bien aperçu.Ce nouveau problème, outre qu'il est plus symétrique puisque les deux tangentes jouent le même rôle a l'avantage d'être formulé dans le plan affine.De plus sa version projective est toujours celle qu'a décrite gai requin.
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BonjourCi-dessous ma construction.Les données sont en rouge.Les paraboles construites sont en noir.Je ne me suis pas servi d'outils euclidiens mais uniquement d'outils affines pour ce faire.Par contre je n'ai aucune idée d'une solution euclidienne, le problème me parait très difficile sinon impossible pour les bacheliers d'autrefois, alors qu'elle est si facile aujourd'hui avec un logiciel de géométrie dynamique.Amicalementpappus
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Bonjour,
Voilà ci-joint un fichier Géogébra (pdf à renommer en ggb). On peut bouger $M,P,Q$.
Je mettrai quelques explications plus tard.
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour,Je choisis la tangente au sommet comme axe des abscisses.La parabole a alors une équation de la forme $y=f(x)=u(x-s)^2$Le point $M$ est choisi sur l'axe des ordonnées $M(0;m)$.L'autre tangente a une équation de la forme $y=px+q$.Trois points $M(0;m),P(p;0),Q(q;0)$ fixent les données, on peut les bouger.J'ai mis tout ça en équations et effectué des éliminations.J'obtiens $p^2s^2 + 4mps + 4mq=0$ et $16q^2u^2 - 8p^2(2m-q)u + p^4=0$Ce qui donne, en posant $r=\sqrt{m(m-q)}$:$s=\dfrac{2(-m\pm r)}{p}$ et $u=\dfrac{p^2((2m-q)\pm 2r)}{4q^2}$.Cordialement,Rescassol
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Merci Rescassol pour ton bel effort.Comme je l'ai dit, j'ai effectué ma construction avec les outils de mon logiciel, Cabri en l'occurrence.GeoGebra est bien supérieur à Cabri car c'est aussi un logiciel de calcul dont on peut se servir ensuite pour tracer des figures.C'est impossible en général avec Cabri!En fait je me suis rappelé de la construction d'un cercle tangent à deux droites et passant par un pointElle est basée sur le fait que les cercles tangents à deux droites forment deux familles de cercles homothétiques.La construction est alors simple: on trace un cercle quelconque tangent aux deux droites puis par une homothétie adéquate facile à exhiber, on le transforme en un cercle passant par le point donné et il y a en général deux façons de faire.La même méthode marche ici pour la parabole!Les paraboles tangentes à deux droites et de direction asymptotique donnée forment une famille de paraboles homothétiques.La seule difficulté est donc de tracer au moins une parabole de la famille!Comment s'y prendre?AmicalementpappusPSJ'aime bien ce genre de constructions basée sur l'utilisation d'un groupe de transformations qui sont un peu le sang de la géométrie!
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Soit $m$ et $m'$ les points de contact avec les tangentes $T$ et $T'$.
La correspondance $m\mapsto m'$ est affine de graphe de direction $\delta$.D'où la construction suivante d'une parabole de la famille avec quelques milieux qui permettent d'obtenir cinq points. -
Merci gai requinC'est ainsi que j'ai procédé!AmicalementpappusPSQuand te décideras-tu à nous parler de ta construction projective?
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Bonjour à tousVoici la figure de gai requin dans le plan projectif!Surtout ne tremblez pas!Localement ça ressemble beaucoup au plan ordinaire!Les données sont en rougeIl faut construire les coniques tangentes aux droites $AB$ et $AC$, tangente à la droite $BC$ au point $A'$ et passant par $M$.Si on envoie la droite $BC$ se faire voir ailleurs à l'infini, on retrouve le problème de la parabole.Comment effectuer cette construction projective?AmicalementpappusPSC'est le genre de problème qu'adoraient nos aïeux!Toute la théorie projective des coniques défile dans cette construction!
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Bonjour à tousJ'esquisse la preuve.Les coniques solutions se recoupent en un point $M'=h(M)$ où $h$ est une homologie involutive facile à exhiber sur la figure.Maintenant les coniques passant par $M$ et $M'$ et tangentes en $A'$ à la droite $BC$ forment un faisceau linéaire induisant des involutions sur les droites $AB$ et $AC$.Les points fixes de ces involutions sont les points de contact des coniques solutions et se construisent suivant les techniques projectives habituelles.On connait ainsi plus de cinq points sur chacune des coniques solutions qui peuvent alors être tracées avec l'outil conique passant par cinq points.Cela donne la figure ci-dessous que je me garderai bien d'expliquer plus avant, à quoi bon se décarcasser!AmicalementpappusPSNoter que ma construction affine fonctionne très bien dans le cas euclidien avec la tangente au sommet.Il reste à voir comment la construction projective précédente permet de se passer des homothéties dans le cas affine.
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Bonsoir à tousPour m'amuser, j'ai refait la construction projective dans le cas de la parabole.J'ai envoyé la droite $BC$ se faire voir ailleurs.La figure est plus aérée car il y a moins de points puisque certains sont à l'infini.En plus la construction des points fixes des involutions induites est aussi plus simple, (intervention des points centraux).In fine, cela donne la figure ci-dessous où les paraboles construites l'ont été sans utilisation de la moindre homothétie.Peut-être pouvait-on l'expliquer à un taupin bien entrainé des années 1930?Amicalementpappus
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Bonsoir à tousUne autre question du même exercice 334.Construire les paraboles dont on connait deux points $A$ et $B$, une tangente $T$ et la direction asymptotique matérialisée par une droite $\delta$.Cet exercice me parait plus dur.J'ai seulement une construction projective pour le moment.Amicalementpappus
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Bonjour,
Voilà un fichier Géogébra (pdf à renommer en ggb) correspondant au message de Pappus suivant:
https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2391178/#Comment_2391178
On peut bouger $A'$ et $M$ et on obtient les deux coniques en donnant à $t$ l'une ou l'autre des valeurs $t_1$ ou $t_2$.
Les calculs on été faits en barycentriques.
Cordialement,
Rescassol
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