Factorisation de polynôme sans racine évidente

Une méthode possible, la plus classique (bourrine) : on écrit le polynome de degrés 4 comme facteur de 2 polynomes de degrés 2 :

$P(x)=-x^4+2x^2-4x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$
Ensuite, on développe, on regroupe les termes de même puissance, on identifie les coefficients des termes de même puissance, et on a un système à résoudre.

Ici, comme exemple, on se retrouve avec un système à 6 inconnues et 5 équations mais, si $(a, b, c, d, e, f)=(a_0, b_0, c_0, d_0, e_0, f_0)$ est solution, alors $(\frac{a_0}{y}, \frac{b_0}{y}, \frac{c_0}{y}, y\ d_0, y\ e_0, y\ f_0)$ est aussi solution, donc on peut fixer une valeur, ici le plus naturel est de rajouter $a=1$ (ou $-1$).

Ensuite, on sait comment traiter la factorisation de polynomes de degré $2$.

PS : avec l'habitude, par exemple, on voit que $P$ n'a pas de termes en $x^3$, et donc qu'on peut donc écrire directement que $b=-e$, ce qui permet de diminuer le nombre d'inconnues.

Par contre, le système n'est pas simple à résoudre, vu les racines : https://www.wolframalpha.com/input?i=-X^4+2X^2-4X+1

Il n'y aurait pas une erreur dans l'énoncé ?

Bonjour

le plus simple est de faire un tableau des variations de la fonction  f définie par

$f(x) = - x^4 + 2x^2 - 4x + 1$

dont la dérivée est $f'(x) = - 4 (x^3 - x + 1)$

et de dérivée seconde $f''(x) = - 4 (3x^2 - 1)$ qui s'annule pour $x = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ et $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$

l'image de 0 par f'(x) est négative (soit - 4) et 
le maximum local de f'(x) pour $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ est aussi négatif  avec une limite pour +oo égale à - oo

tu constates sur le tableau des variations de f ' dérivée de f  qu'elle ne s'annule que pour une seule valeur a négative de la variable x

tu peux encadrer facilement cette racine    - 2 < a < - 1, tu en déduis que f admet un maximum f(a) 

or f(-2) = 1 et  f(-1) = 6 ; les limites de f en l'infini sont - oo donc f s'annule pour 2 valeurs $\alpha$ et $\beta$ de la variable x

valeurs que tu encadres : $- 3 < \alpha < - 2$  et d'autre part   $ 0,3 < \beta < 0,5 $

les deux racines de f(x) = 0 sont non-entières, tu peux les calculer précisément par les suites :

$u_{n+1} = - (2u^2_n- 4u_n +1)^{0,25}$ avec $u_0=-3$ pour la première $\alpha$ et la même suite affectée du signe moins pour la seconde

Cordialement

(note : je n'ai pas dit que les racines étaient compliquées à trouver)

Disons un peu pénible ... Dans une autre vie, j'ai su faire, et j'étais plutôt dans ma période jeune étudiant.

En cherchant les racines exactes avec wolfram ( cliquer sur la case exact forms) , je ne pense pas qu'un humain puisse faire ce calcul.

Bravo si tu trouves comme wolfram les deux racines réelles