Inégalité de convexité

Par l'inégalité arithmético-géométrique, la somme est toujours supérieure ou égale à $n$.

Ensuite, la fonction $f:x\mapsto x+x^{-1}$ est une bijection strictement croissante de $\left[1,+\infty\right[$ dans $\left[2,+\infty\right[$ donc tout élément de $\left[n,+\infty\right[$ peut s'écrire $\frac{x}{1}+\underset{(n-2) \, \text{fois}}{\underbrace{\frac{1}{1}+\cdots+\frac{1}{1}}}+\frac{1}{x}$ en prenant $x=f^{-1}(n-2)$.

Donc l'ensemble cherché est l'intervalle $\left[n,+\infty\right[$.

-$\log$ est concave sur $]0,+\infty[$ car sa dérivée seconde est négative.

Dans la suite on identifie $\{1,..,n\}$ avec $\Z / n\Z$ pour simplifier les notations (on a automatiquement $x_1 = x_{n+1}$ pour tout $x\in \R^{\Z /n\Z}$).

-Soient $x_1,...,x_n>0$. Alors $$\log \left ( \frac 1 n \sum_{i=1}^n \frac {x_i}{x_{i+1}}\right ) \geq \frac 1 n \sum_{i=1}^n \log \left ( \frac {x_i}{x_{i+1}}\right ) = \frac {1}{n} \sum_{i=1}^n \left ( \log (x_i) - \log (x_{i+1}) \right ) = 0$$ par concavité du $\log$ et télescopage. Par suite $\frac 1 n \sum_{i=1}^n \frac {x_i}{x_{i+1}} \geq 1$ et $\sum_{i=1}^n \frac {x_i}{x_{i+1}} \geq n$. L'égalité est atteinte pour $x_1 = ... = x_n =1$. Enfin, $x\mapsto \sum_{i=1}^n \frac {x_i}{x_{i+1}}$ est continue et non bornée (prendre $x_2 := ... := x_{n-1} := 1$ et $x_1 := x_n := p$ avec $p$ arbitrairement grand) donc l'image de la fonction envisagée est $[n; +\infty[$.