Une conjecture :)

Pour $P$ avec coefficient dominant négatif de sorte que $P(n)$ tende vers $-\infty$ et pour $Q=id$ ($Q : n\mapsto n$) il me semble que la partie entière devient exactement $Q(n)$ à partir d’un $n$ assez grand. 

Ceci fait penser à des ex-conjectures, qui sont devenus des théorèmes, comme par exemple :

1°. En 1947, Mills montra qu'il existe $A > 0$ tel que $\left \lfloor A^{3^n} \right \rfloor$ est premier pour tout entier $n \geqslant 1$.

2°. Le résultat de Mills a par la suite été généralisé par plusieurs auteurs. Par exemple, Kuipers (1950) et Ansari (1951) ont montré indépendamment qu'il existe une infinité de nombres $A > 0$ tels que $\left \lfloor A^{c^n} \right \rfloor$ est premier pour tout entier $n \geqslant 1$, ou $c \geqslant 2,106$.

3°. Dans le cas $c=3$, Caldwell & Chang ont calculé en 2005 le plus petit $A$ possible : $A \approx 1,3063778838 \dotsc$ Voir aussi la suite A051021 de l'OEIS.

4°. En 2017, Tóth effectua un calcul dans la même veine et montra qu'il existe $B > 0$ tel que $\left \lceil B^{3^n} \right \rceil$ est premier pour tout entier $n \geqslant 1$, et donna $B \approx 1,245547052 \dotsc$ Il généralisa ensuite à tout nombre $\left \lceil B^{c^n} \right \rceil$ avec $c \geqslant 3$.

NdT (GBOF).

Je crois qu'on ne sait même pas s'il y a une infinité de nombres premiers dans la suite $n^2+1$ alors que la fonction sous-jacente est simple donc j'imagine qu'en remplaçant par une fonction plus compliquée et éventuellement en prenant la partie entière de tout ceci on se retrouve avec un truc encore plus complexe, j'ai des doutes qu'on soit capable de prouver qu'on produit une infinité de nombres premiers de la sorte.

Pour donner vie, à ce fil de mon champion Q37 
Conjecture 
Il existe un entier  réel A>0 tel que pour tout n>0, $\left \lfloor A^{2^n} \right \rfloor$ est un nombre premier . 

Je pense , seulement je pense, que c'est démontrable à l'aide de la conjecture de Legendre signalé par FDP (d'une manière sous entendue)  : pour tout entier n, il existe un nombre premier $p \in [n^2,(n+1)^2]$

J'ai modifié . Merci 

C'est un calcul pas une preuve. En considérant les premiers dans les petits intervalles $[x,x+x^{\theta}]$ (au moins un premier) il faudrait a priori que $\theta<1/2$ pour avoir une telle constante. La conjecture de Legendre est aussi suffisante.

Pas possible celle là. Et il manque des parties entières dans ta proposition.