Factorisation de polynôme sans racine évidente
dans Algèbre
Bonsoir tout le monde !
s’il vous plait j’ai besoin d’une factorisation d’un polynôme de degré 4 à coefficients réels ; j’ai pas trouvé une racine évidente , est ce qu’il faut que je passe à C si oui comment ?
Mon polynôme est le suivant -X^4+2X^2-4X+1
Merci d’avance
s’il vous plait j’ai besoin d’une factorisation d’un polynôme de degré 4 à coefficients réels ; j’ai pas trouvé une racine évidente , est ce qu’il faut que je passe à C si oui comment ?
Mon polynôme est le suivant -X^4+2X^2-4X+1
Merci d’avance
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Réponses
$P(x)=-x^4+2x^2-4x+1=(ax^2+bx+c)(dx^2+ex+f)$
Ensuite, on développe, on regroupe les termes de même puissance, on identifie les coefficients des termes de même puissance, et on a un système à résoudre.
Ici, comme exemple, on se retrouve avec un système à 6 inconnues et 5 équations mais, si $(a, b, c, d, e, f)=(a_0, b_0, c_0, d_0, e_0, f_0)$ est solution, alors $(\frac{a_0}{y}, \frac{b_0}{y}, \frac{c_0}{y}, y\ d_0, y\ e_0, y\ f_0)$ est aussi solution, donc on peut fixer une valeur, ici le plus naturel est de rajouter $a=1$ (ou $-1$).
Ensuite, on sait comment traiter la factorisation de polynomes de degré $2$.
PS : avec l'habitude, par exemple, on voit que $P$ n'a pas de termes en $x^3$, et donc qu'on peut donc écrire directement que $b=-e$, ce qui permet de diminuer le nombre d'inconnues.
Il n'y aurait pas une erreur dans l'énoncé ?
Les racines sont approximativement:
Cordialement,
Rescassol
le plus simple est de faire un tableau des variations de la fonction f définie par
$f(x) = - x^4 + 2x^2 - 4x + 1$
dont la dérivée est $f'(x) = - 4 (x^3 - x + 1)$
et de dérivée seconde $f''(x) = - 4 (3x^2 - 1)$ qui s'annule pour $x = - \frac{1}{\sqrt{3}}$ et $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$
l'image de 0 par f'(x) est négative (soit - 4) et
le maximum local de f'(x) pour $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ est aussi négatif avec une limite pour +oo égale à - oo
tu constates sur le tableau des variations de f ' dérivée de f qu'elle ne s'annule que pour une seule valeur a négative de la variable x
tu peux encadrer facilement cette racine - 2 < a < - 1, tu en déduis que f admet un maximum f(a)
or f(-2) = 1 et f(-1) = 6 ; les limites de f en l'infini sont - oo donc f s'annule pour 2 valeurs $\alpha$ et $\beta$ de la variable x
valeurs que tu encadres : $- 3 < \alpha < - 2$ et d'autre part $ 0,3 < \beta < 0,5 $
les deux racines de f(x) = 0 sont non-entières, tu peux les calculer précisément par les suites :
$u_{n+1} = - (2u^2_n- 4u_n +1)^{0,25}$ avec $u_0=-3$ pour la première $\alpha$ et la même suite affectée du signe moins pour la seconde
Cordialement
Si ce n'est pas compliqué, C’est juste difficile !