Un sev de dimension finie est fermé
On a le théorème suivant : soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension quelconque et $F$ un sev de $E$ de dimension finie. Alors $F$ est. Un fermé de $E$.
La démonstration ci-dessous est-elle correcte ?
La démonstration ci-dessous est-elle correcte ?
Avec les hypothèses du théorème, soit $(x_n)$ une suite de $F$ convergeant vers $x\in E$.
On pose $G=F+\text{Vect}(x)$ sev de $E$ de dimension finie.
Soit $p$ la forme linéaire de $G$ définie par $p(f+\lambda x)=\lambda$ (où $f\in F$ et $\lambda \in \mathbb{K}$).
$p$ est une forme linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie donc elle est continue.
$\ker p=p^{-1}(\{0\})=F$ , donc $F$ est un fermé de $G$ comme image réciproque d’un fermé par une fonction continue.
Par conséquent la limite $x$ de $(x_n)$ est dans $F$ et $F$ est un fermé de $E$.
On pose $G=F+\text{Vect}(x)$ sev de $E$ de dimension finie.
Soit $p$ la forme linéaire de $G$ définie par $p(f+\lambda x)=\lambda$ (où $f\in F$ et $\lambda \in \mathbb{K}$).
$p$ est une forme linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie donc elle est continue.
$\ker p=p^{-1}(\{0\})=F$ , donc $F$ est un fermé de $G$ comme image réciproque d’un fermé par une fonction continue.
Par conséquent la limite $x$ de $(x_n)$ est dans $F$ et $F$ est un fermé de $E$.
Je vous remercie.
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Réponses
@celine_L : il faudrait préciser ce que tu autorises ou pas, sinon...