Homomorphismes de Freimann

nyadis
nyadis
dans Combinatoire et Graphes
Bonjour, je fais mes débuts dans la combinatoire additive et j'ai une question sur les homomorphismes de Freimann. 
Je commence par définir un morphisme de Freimann : si A et B sont deux ensembles de cardinaux finis, un morphisme de Freimann $f:A \to B$ d'ordre $2$ est une application tel que pour tout $x,y,z,t\in A$ tel que $x+y=z+t$ alors $f(x)+f(y)=f(z)+f(t)$. On dit que $f$ est un isomorphisme de Freimann si cette application admet un inverse vérifiant la même propriété ci dessus. Cette définition peut s'étendre à l'ordre $k$ suivant la même logique. 

J'aimerais démontrer que si $A $ est un ensemble fini de $ \mathbb{Z}^2$ alors il existe $B$ un ensemble fini de $ \mathbb{Z}$ et il existe un isomorphisme de Freimann d'ordre 2 ( même d'ordre k) entre $A$ et $B$. 
J'ai pensé à définir une application linéaire ( donc satisfait par définition la condition) entre $A$ et $B$. Et j'ai pensé à l'application somme des composantes. Malheureusement elle n'est pas bijective. Et j'arrive pas à imaginer une application non linéaire vérifiant cette hypothèse de Freimann. 

Merci de vos réactions. 

Réponses

  • Amédé
    Amédé
    Modifié (October 2022)
    Bonsoir
    Soit $k\geq 1$ un entier. Quitte à translater on peut considérer que $A\subset\Z_{+}^{2}$. Puisque $A$ est fini il existe un entier $M\geq0$ (multiple de $k$) tel que : $A\subset E$. Où $E=\{(a_1,a_2)\in\Z^2\mid 0\leq a_i<M/k\}$.
    On pose $\phi:A\rightarrow \Z$, défini par $\phi(a_1,a_2)= a_1+Ma_2$. C'est un morphisme de groupe injectif. C'est aussi un morphisme de Freimann d'ordre $k$. Si on pose $B=\phi(A)$ on doit pouvoir être proche de la vérité.
  • babsgueye
    babsgueye
    Salut.
    Si $X(x_{1}, x_{2})$ et $Y(y_{1}, y_{2})$ sont dans $A$.
    $X + Y = Z(x_1 + y_{1}, x_2 + y_{2})$.
    Soit $f : \,A\to \,\mathbb{Z}$ telle que $f(X) = x_1 + x_2$ et $f(Y) = y_1 + y_2$ si $y_1 + y_2\neq x_1 + x_2$ et $f(Y) = y_1 + y_2 + y_0$ si $y_1 + y_2 = x_1 + x_2$. 
    Comme $A$ est fini, tu pourra de proche en proche (en choisissant bien les $y_0$) avoir une application $f$ bijective de $A$ vers $Im(f)$ qui est lui aussi fini.

    Cordialement.
  • nyadis
    nyadis
    Modifié (November 2022)
    Merci pour vos réponses.
    À Babsgueye, 
    Je pense que cette méthode nous donne un morphisme de Freimann d'ordre au plus 2. Parce que si on considère $X_1(1,1), X_2(0,2), X_3(1,0)$, et également $Y_1(1,1), Y_2(1,2), Y_3(0,0)$ alors on a bien $X_1+X_2+X_3=Y_1+Y_2+Y_3$ par contre à cause de l'égalité $Y_1=X_1$ on ne pourra pas avoir une égalité de la somme des images de chaque groupe. 
    À Amédé,
         j'ai rien à ajouter, cette solution est satisfaite.
    Merci à vous !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7

FoysGG +5 Invités