Exp(x)=somme de x^n/n!
dans Analyse
Bonsoir tout le monde.
s’il vous plait est ce que vous pouvez m’aider à démontrer que exp(x)=somme de x^n/n!
s’il vous plait est ce que vous pouvez m’aider à démontrer que exp(x)=somme de x^n/n!
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Réponses
Quelle est ta définition de $\exp(x)$ ?
Cordialement,
Rescassol
Il existe plusieurs possibilités… ce doit être dans le cours…
1) équation différentielle ? (et condition initiale)
2) équation fonctionnelle ? (et hypothèse de régularité)
3) fonction réciproque de $\ln$ ?
4) fonction obtenue par la méthode d’Euler (je dis « la »… )
Tu sais que l'exponentielle de base "e" (2,718....) est la seule fonction définie, continue de variable réelle x
admettant des dérivées successives égales à elle-même
tu connais le développement de Mac-Laurin cas particulier (pour a = 0)
du développement de Taylor à partir du point A d'abscisse a
le développement de Mac-Laurin se présente ainsi
$f(x) = f(0) + xf'(0) + \frac{x^2}{2!}f''(0) + .............+\frac{x^n}{n!}f^{(n)}(0)+....$
tu calcules les dérivées successives de exp(x) pour x = 0 et tu obtiens la relation recherchée
Cordialement
e.v.
Quand on rajoute ça, ça devient une méthode valable pour faire l'exercice. Me semble-t-il.
Appliquant la "méthode" de jean, je "démontre" sans problème que $1/e$ est égal à $0$ (en évaluant en $1$ le développement de Mac-Laurin de la fonction $x\mapsto e^{-1/x^2}$ convenablement prolongée en $0$) ...
1) Pour tout $x$ réel, les suites $\left((1+\frac x n)^n\right)$ et $\left((1-\frac x n)^{-n}\right)$ sont adjacentes.
On définit alors $\exp(x)$ comme leur limite commune.
2) $x\mapsto\exp(x)$ est dérivable sur $\R$, où $\exp'=\exp$.
3) Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\R$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.
C'est $\exp$ d'après ce qui précède.
4) $g:x\mapsto\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!}$ est dérivable sur $\R$, où $g'=g$ et on a $g(0)=1$.
Donc $g=\exp$.
Par cohérence avec ce qui précède, on pose $\exp(z):=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}$.
Montrer que $\left((1+\frac z n)^n\right)$ converge vers $\exp(z)$ et en déduire que $\exp(z)=\exp(x)(\cos y+i\sin y)$ (Euler).