Une somme à calculer

Izolg · October 2022

Bonjour
Je vous propose de démontrer que pour $n\geq 1$ alors $$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{{n-1\choose k}}{{2n \choose k}}\frac{n+1}{2n-k} = 1.$$

Si ça n'est pas très beau, cela est équivalent à montrer :

$$\sum_{k=0}^n \frac{n\choose k}{2n\choose k} = \frac{2n+1}{n+1}.$$

Je n'ai pas trouvé de preuve directe de ces égalités, mais je suis parfois aveugle. En fait, j'ai obtenu la première en calculant la loi d'une certaine variable aléatoire (et somme des probas vaut $1$).

Ça m'intrigue si vous avez une preuve assez directe.
Merci par avance,

Fin de partie · October 2022

Pour la deuxième identité.

Soit $\displaystyle C(k,n)=\dfrac{\binom{n}{k}}{\binom{2n}{k}}$
Maxima renvoie $\displaystyle R(k,n)=\dfrac{k-2n-1}{n+1}$
Ce qui veut dire qu'on doit avoir:
$\displaystyle C(k,n)=C(k+1,n)R(k+1,n)-C(k,n)R(k,n)$
Il n'y a plus qu'à vérifier cette formule et le reste coule de source me semble-t-il.

Fin de partie · October 2022

Pour la première identité prendre $\displaystyle R(k,n)=\dfrac{k-2n}{n+1}$

gebrane · October 2022

On trouve $\frac{\binom nk}{\binom {2n}k} = \frac{\binom {2n-k}{n}}{\binom {2n}n}$
Apres ce qu'on cherche est un jeu d'enfant

jandri · October 2022

Les deux égalités se démontrent très rapidement en simplifiant les factorielles, je le fais pour la deuxième :

$\displaystyle\sum_{k=0}^n \dfrac{n\choose k}{2n\choose k} =\sum_{k=0}^n \dfrac{n!(2n-k)!}{(2n)!(n-k)!} =\sum_{k=0}^n \dfrac{2n-k\choose n}{2n\choose n}= \dfrac{2n+1\choose n+1}{2n\choose n} =\dfrac{2n+1}{n+1}$

Izolg · October 2022

Merci, effectivement c'est très simple !

Fin de partie · October 2022

@Jandri mais tu utilises tout de même l'identité $\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+k}{k}=\binom{2n+1}{n+1}$

PS.
Qu'on peut démontrer en prenant $\displaystyle R(k,n)=\dfrac{k}{n+1}$.

jandri · October 2022

C'est exact mais cette identité bien connue résulte d'un simple télescopage en utilisant la relation de Pascal :

$\displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n+k}{n}=\sum_{k=0}^n\left (\binom{n+k+1}{n+1}-\binom{n+k}{n+1}\right)=\binom{2n+1}{n+1}$

Magnéthorax · October 2022

Cette dernière idée permet de dégager facilement des propriétés non triviales de
$$
P\in\mathbf{Q}\left[X\right] \longmapsto \left(n\mapsto \sum_{k=0}^n P\left(k\right)\right) \in\mathbf{Q}\left[X\right]
$$

Une somme à calculer

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