Existe-t-il une réunion finie de boules fermées de même taille fixée qui entoure un compact ?

Pour $A$ une partie compacte de $E$ un espace vectoriel, est-ce que la proposition suivante est vraie ? : $\forall \varepsilon >0, \exists n\in\mathbb N^*,\exists (a_1,\dots,a_n)\in A^n, A\subset \bigcup B_f(a_i,\varepsilon)$.

Alors, ma définition de compacte est la suivante : $A$ partie compacte de $E$ si pour toute suite d'éléments de $A$, on peut extraire une sous-suite convergente vers un élément de $A$.

Je pense que cela est vraie mais je n'arrive pas à établir une preuve tangible. Auriez-vous des idées ?