Distance à un fermé
Bonjour, je n'arrive pas à montrer l'affirmation contenue dans la question 28.d) de l'agrégation interne 2018 deuxième épreuve, à savoir :
soit $B$ une partie non vide fermée de $\R^2$ et $m_0$ un point de $\R^2$. Alors il existe un point $b \in B$ réalisant la distance de $m_0$ à $B$, i.e. vérifiant $d(m_0,b)=d_B(m_0)=\inf \{d(m_0,m)\mid m \in B \}$.
Par contraposée, on a : $\forall \varepsilon > 0,\ \exists m \in B$ tel que $ |d(m_0,m) - d_B(m_0)| < \varepsilon$, i.e. $d_B(m_0) \leq d(m_0,m) < d_B(m_0)+ \varepsilon$.
On peut en déduire une suite de points de $B$ tels que la distance à $m_0$ se rapproche d'aussi près de $d_B(m_0)$ que l'on veut. D'où une suite de distances convergente. Mais de là, comment passer à une suite de points convergente ?
Je ne sais pas si c'est la bonne approche.
Merci d'avance.
Réponses
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Bonjour Julia,Tout d'abord l'ensemble $\left\{ d\left(b,m_{0}\right)\mid b\in B\right\} $ est non vide car $B$ non vide et minoré par $0$ donc possède une borne inférieure $d\left(m_{0};B\right)$. Pour chaque $n$ naturel il existe, par définition de $d\left(m_{0};B\right)$, $b_{n}\in B$ tel que $d\left(m_{0};B\right)+2^{-n}>d\left(m_{0};b_{n}\right)$. L'inégalité vraie pour tout $n$ et $p$ naturels: (édit: dernière inégalité complètement stupide)
\[
d\left(b_{n};b_{n+p}\right)\leqslant d\left(b_{n};m_{0}\right)+d\left(b_{n+p};m_{0}\right)\leqslant2^{-n}+2^{-n-p}
\]
montre que la suite $b$ est de Cauchy dans $\mathbb{R}^{2}$ qui est complet. Donc $b$ converge. -
Bonsoir,
si tu considères une suites $(b_n)$ d'éléments de $B$ telle que $d(m0,m_n) \to d(m_0,B)$, alors la suite $d(m_0,b_n)$ est bornée dans $\R$, ce qui implique que la suite $(b_n)$ est bornée dans $\R^2$ (car tous ses éléments sont contenus dans une boule de centre $m_0$ et de rayon $M$ où $M$ est un majorant de $(d(m_0,b_n))$).Je te laisse continuer ;-)
Bonne soirée
F. -
Une autre possibilité utilisant les compacts consiste à remarquer que l'application $f:B\to \R, b\mapsto d(m_0,b)$ est continue et que $B$ est compact. Par conséquent $f(B)$ est compact et $f$ atteint sa borne inférieure.
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Oui Raoul sauf que l'hypothèse compact est TROP FORTE, et que B fermé suffit et à ce moment, on ne peut conclure par la continuité sur un compact
ojsanssimpson -
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Ici c'est la complétude de $\R^2$ qui fait marcher l'histoire. On peut remplacer $\R^2$ par n'importe quel Banach.PS : @Julia Paule : de rien.
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Ah oui je ne sais pas pourquoi j'ai cru lire $B$ fermé borné...
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Merci @raoul.S. J'avais pensé aussi à l'application $b \mapsto d(m_0,b)$ continue. Pourquoi $B$ est compact ? En effet, $B$ n'est pas forcément borné ?EDIT : c'est déjà dit, je n'avais pas vu.
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BonsoirOn s'y ramène (à un domaine compact), faire un dessin.Soit $f$ dans $B$ (B non vide) et soit $K=B\cap \{x\in \R^2\mid d(m_0, x)\le d(m_0, f)\}$ et on constate que $d(m_0,B)=d(m_0, K) $.NB : dans cet énoncé, qu'on trouve sur Internet, $d$ est la distance euclidienne sur $\R^2$.
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Il faut se ramener à un compact. Sinon, c'est faux dans un Banach: par exemple $E=\ell_{\infty}(\N)$ au lieu de $\R^2$ et $B=\{(1+\frac{1}{n} )e_n \mid n \in \N^*\}$, avec $e_n$ la suite valant $1$ en $n$ et $0$ ailleurs. Alors $d(0_E,B)=1$, mais la distance n'est pas atteinte.
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@Julia Paule : ton énoncé marche même si on prend $E$ l'ensemble des suites réelles bornées muni de la norme infinie et $B$ la boule unité fermée. Pourtant cette boule bien que fermée et bornée dans $E$ n'est pas compacte. La notion importante ici est la complétude, pas la compacité.
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$B$ n'est pas forcément une boule, je crois.
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Bah non effectivement. Pourquoi tu dis ça ?Je donne un exemple où, bien que $B$ puisse être fermée et bornée, on ne peut utiliser un argument de compacité alors que la complétude marche toujours. J'aurais pu prendre un autre exemple qu'une boule pour illustrer mais j'ai trouvé ça simple.
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Comment montrer $d(b_n;m_0)+d(b_{n+p};m_0) \leq 2^{-n}+2^{-n-p}$ ?
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Ok @malavita, merci. La suite $(b_n)$ est bornée dans $\R^2$, donc elle admet une suite extraite convergente (d'après le théorème de Bolzano-Weierrstrass), soit une valeur d'adhérence $b$ (limite de la suite) qui est dans $B$ car $B$ est fermée ?De là, on en déduit que $b$ réalise la borne inférieure des distances à $m_0$. (je ne vois pas encore comment, mais ça devrait venir)
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Pouf, pouf ! je reprends (et on a bien besoin de compacité locale).On extrait de ma suite $b$ (qui est dans une boule fermée en dimension finie donc compacte), une suite qui converge. Cette sous-suite vérifie$d\left(b_{\phi\left(n\right)};m_{0}\right)\leqslant d\left(B;m_{0}\right)+2^{-\phi(n)}$ ce qui montre ce qu'on veut en faisant tendre $n$ vers l'infini (car la fermeture de $B$ assure que la limite est bien dans $B$).
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Merci beaucoup @marco ! En effet, de $|d(b_n , m_0) - d_B(m_0) | \leq 2^{-n}$, on ne peut évidemment pas en déduire que $d(b_n , m_0) \leq 2^{-n}$.J'avais lu trop vite avec : on en déduit que $|d(b_n , m_0) - d(b_{n+p},m_0) | \leq 2^{-n+1}$, mais le critère de Cauchy, ce n'est pas ça.Pour la solution de @malavita, en effet on a pour tout $\varepsilon > 0$, et $n$ assez grand, $|d(b_{\varphi(n)} , m_0) - d(m_0,b) | \leq \varepsilon / 2$, et $ |d(b_{\varphi(n)} , m_0) - d_B(m_0) | \leq \varepsilon / 2$ donc $|d_B(m_0) - d(m_0,b) | \leq \varepsilon$, soit $d_B(m_0) = d(m_0,b)$.Mais je me rends compte que cette affirmation a été montrée dans la partie I-A de l'énoncé ! Pour ceux que cela intéresse :1.6. si $A$ est une partie non vide de $E$ espace métrique, alors $\forall x \in E, \exists a \in A \mid d_A(x)=d(x,a)$ (car par contraposée, on en déduit une suite de points dans $A$ compact, donc qui admet une valeur d'adhérence $a$ qui répond à la question)1.7. si $A$ est une partie fermée non vide de $E$ espace affine euclidien, alors $\forall m \in E, \exists a \in A \mid d_A(m)=d(a,m)$ (en se ramenant à un compact $K=A \cap (B_f(m, d_A(m) + \varepsilon)$, on peut appliquer 1.6. et on a $d_A(m)=d_K(m)$, car $K \subset A$, donc $d_A(m) \leq d_K(m)$, et par contraposée dans l'autre sens).Ou bien, plus simplement avec l'argument de @raoul.S : l'image d'un compact par une application continue est un compact, et elle atteint sa borne inférieure ; et on est ramené à montrer que $d_A(m)=d_K(m)$.
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