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Test d'hypothèses

malavitamalavita
Modifié (October 2022) dans Statistiques
Bonsoir à tous,
je désire effectuer un test d'hypothèse relatif à la moyenne d'une variable aléatoire $X$, qui suit une loi normale d'écart type $\sigma$ inconnu. Je note $H_0 : m=m_0$ et $H_1 : m=m_1$ mes hypothèses, $(x_1,\ldots,x_n)$ le résultat de mon échantillonnage.
Suivant la méthode de Neyman et Pearson, je calcule le quotient de mes fonctions de vraisemblances et arrive à une condition de test du type $$\overline{x}_n \geq C.$$ En notant $\overline{x}_n$ l'estimation de ma moyenne. Sous $H_0$ la loi de cet estimateur étant une loi normale d'écart type $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$. Je suis donc ennuyé pour déterminer $C$, qui ressemble à un truc du genre $m_0+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
Pour contourner cette difficulté, le corrigé propose après avoir suivi cette méthode, d'utiliser l'estimateur :$$\sqrt{n}\,\frac{\overline{x}_n-m_0}{S_n}$$ qui suit une loi de Student d'ordre $n-1$, où $S_n$ désigne un estimateur de l'écart type de $X$. La zone critique est alors déterminée par les centiles de cette loi de Student.
Du coup, je ne comprends pas l'intérêt de faire tout ce cirque avec Pearson and co...pourquoi n'utilise-t-on pas directement l'estimateur "Student" ?
Bonne soirée
F.

Réponses

  • gebranegebrane
    Bonjour,
    Peux-tu joindre le document pour que @gerard0 jette un coup d'œil  :smile: c'est un spécialiste en statistiques 
    Le 😄 Farceur


  • malavitamalavita
    Modifié (October 2022)

  • malavitamalavita
    Modifié (October 2022)
    Voilà,
    je pense avoir compris la correction. Ce qui me gène, c'est que dans cet exercice le correcteur s'autorise à utiliser l'estimateur "qui l'arrange" sans plus de justifications... À la limite pourquoi pas, mais alors pourquoi dans d'autre cas s'ennuyer avec toutes ces histoires de quotient de vraisemblances, alors qu'il suffirait de dire sous $H_0$, la loi de telle statistique est connue et on peut donc construire simplement un test d'hypothèses.
    A+
    F.
  • gebranegebrane
    Tu as bien fait de joindre le document car ton Hypothèse alternative H_1 a changée  :smile:
    Le 😄 Farceur


  • gebranegebrane
    Peux-tu joindre l'exercice précèdent pour comprendre ce qui a changé comme hypothèses avec la solution proposée
    Le 😄 Farceur


  • malavitamalavita
    Modifié (October 2022)

  • malavitamalavita
    Modifié (October 2022)
    Dans l'exercice précédent, $\sigma$ était connu.
    Deux petites questions annexes, sans doute triviales et qui ne mérite donc pas l'ouverture d'un nouveau fil:
    1) si je dispose d'une suite $X_1,\cdots,X_n$  de v.a. i.i.d. de loi normale $\mathcal{N}(m,\sigma)$, on peut définir l'estimateur sans biais de la variance par : $$S_n=\frac1{n-1} \sum_{k=1}^n (X_k-\overline{X})^2.$$
    La v.a. $\frac{n}{\sigma^2} S_n$ suit alors une loi du $\chi_2$ à $n-1$ degrés de libertés ? Ce $n$ me semble incongru...pour obtenir ce résultat, j'ai tout simplement calculer l'espérance et la variance de $X_k-\overline{X}$ afin de revenir à la définition de la loi du $\chi_2$ et ramener ma somme à une somme de  carré variables aléatoires de loi normale centrée réduite.
    2) si je dispos d'une suite $X_1,\cdots,X_n$  de v.a. i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre $p$, un estimateur de $p$ est $\widehat{p}=\overline{x}$ et l'estimateur sans bais de la variance est $\frac{n}{n-1} \widehat{p} (1-\widehat{p})$.
    Pour $n$ grand, la loi de $\overline{X}$ est approchée par une loi normale de paramètres $p$ et $\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}$. Si l'on cherche à estimer les paramètres de cette loi, vu que $n$ est grand on peut se dispenser du facteur de correction de biais $\frac{n}{n-1}$ et estimer $p(1-p)$ par  $ \widehat{p} (1-\widehat{p})$ ?
    Du coup, la variable aléatoire $\frac{\overline{X})-p}{\sqrt{p(1-p)}}$ suit asymptotiquement une loi normale centré de variance $\frac1{n}$.
    Merci et bonne journée
    F.
  • gebranegebrane
    Modifié (October 2022)
    Pour cette question
    Malavita : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2332008/test-dhypotheses
    Du coup, je ne comprends pas l'intérêt de faire tout ce cirque avec Pearson and co...pourquoi n'utilise-t-on pas directement l'estimateur "Student" ? 
    La question de l'exercice 9 demande le test le plus puissant. Une lecture si tu as un doute que le test le plus puissant est le test de Neyman-Pearson  https://www.readinganswer.fr/pourquoi-le-lemme-de-neyman-pearson-est-il-le-test-le-plus-puissant/
    Pour ta deuxième question je ne comprends pas le sens de "Ce n me semble incongru"
    Le 😄 Farceur


  • malavitamalavita
    Modifié (October 2022)
    Bonjour Gerbrane, merci de ta réponse.
    Donc dans les faits, on utilise la méthode de Neyman-Pearson pour obtenir des tests de puissance optimale. Dans mon exemple, comme on ne connait pas $\sigma$, on ne peut utiliser ce test et on en fait donc un autre pour lequel on n'a pas d'informations a priori sur la puissance ? C'est ça ?
    Pour la seconde ce $n$ ne semble incongru car naïvement, j'aurais dit que $\frac{S_n^2}{\sigma^2}$ qui suivait une loi du $\chi_2$. Du coup, on peut bien dire que $n \frac{S_n^2}{\sigma^2}$ suit une loi du $\chi-2$ à $n-1$ degrés de liberté ?
    A+
    F.
  • gebranegebrane
    Modifié (October 2022)
    Pour ta deuxième question ni l'un ni l'autre.
    Étant donné $X_1,\dots ,X_n $ des iid qui suivent $N(\mu,\sigma^2)$, la variable aléatoire $$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}$$ a une distribution $\chi^2$ avec $(n-1)$ degrés de liberté, où $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum^{n}_{i=1}(X_i- \bar{X})^2.$$
    Le 😄 Farceur


  • malavitamalavita
    Modifié (October 2022)
    Ok, je vais y réfléchir ;-)
    Merci et bonne soirée !
    F.
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