Topologie de $ \mathbb{Z}^n$ et $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Besma bissan · October 2022

Salut

J'ai deux questions importantes.

Est-ce que l'espace $ \mathbb{Z}^n$ est un espace métrique complet ? (associé par la distance $d(x,y)=|x-y|$ ou n'importe quelle distance.

Est-ce que l'epace $ \mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ est un espace métrique complet ? ( associé par le métrique $d(\dot{x},\dot{y})=|1/x-1/y|$ ou n'importe quelle distance) tel que $x, y$ sont les plus petit représentants non nul des classes d'équvalence $\dot{x},\dot{y}$.

Titi le curieux · October 2022

Bonjour,

Je n'ai pas compris la définition de la métrique dans le second cas (mais ce n'est pas grave, cardinal fini et séparé, il est compact en plus d'être métrique donc il est complet). Dans les deux cas, tu n'as pas constaté qu'une suite ne pourra être de Cauchy si elle n'est pas constante à partir d'un certain rang?

edit: pour $\mathbb{Z}^n$ pas avec n'importe quelle distance, on peut s'arranger pour faire des trucs un peu lourd (genre avec une bijection entre $\mathbb{Z}^n$ et $\mathbb{Q}$) mais avec celle que tu as donnée, oui.