$f$ bornée et $\mathcal{C}^2$, existe-t-il $x$ tel que $f''(x) = 0$ ?
Supposons f bornée et f C^2, existe-t-il un x tel que f''(x) = 0 ?
Je suis bloqué. Je voulais utiliser le théorème de Taylor avec reste. Mais je doute que cela puisse marcher. La dérivée seconde n'étant pas forcément bornée.
J'aimerais montrer qu'il existe 2 valeurs distinctes telles que la dérivée des 2 donne une même valeur puis utiliser le théorème de Rolle. Mais je doute que cela soit une façon simple.
Merci de votre aide !
J'aimerais montrer qu'il existe 2 valeurs distinctes telles que la dérivée des 2 donne une même valeur puis utiliser le théorème de Rolle. Mais je doute que cela soit une façon simple.
Merci de votre aide !
[Michel Rolle (1652-1719) prend toujours une majuscule. AD]
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Réponses
Si $f''$ ne s'annule pas, que dire de son signe ? des variations de $f'$ ? du signe de $f'$ sur des intervalles $\left]-\infty,a\right[$ et $\left]b,+\infty\right[$ pour $a$ assez petit et $b$ assez grand ? Ne peux-tu pas en déduire que $f$ n'est pas bornée ?
Proposition. Soit $f$ de classe $C^2$ sur tout $\R$ et bornée. Alors il existe un $x_0$ tel que $f''(x_0)=0.$
Maintenant que je me relis, on a pu mal me comprendre ! Mais, je découvre que dans un cas comme tel la convexité ne marche pas.
Est-ce qu'il existe un $x_0$ tel que $f''(x_0)=0$ ? (Juste pour uniquement deux fois dérivable).
Merci !
sans le théorème cité plus haut, si on suppose juste $f$ 2 fois dérivable.