Continuité mise à prix
J'en profite ce dimanche car la connexion est très fluide
Proposition2. Soit $K$ un compact de $\R$, et soit $(f_n)_{n\geq1}$ une suite de fonctions $f_n~:~K\to{\mathbb R}$ satisfaisant $\lim_{n\to \infty}f_n(x_n)=f(x)$ chaque fois que la suite $(x_n)_{n\geq1}$ est convergente vers un certain $x\in K$. Alors $f$ est continue sur $K$.
Preuve
Soit $x\in K$, et $( x_n)$ une suite d'éléments de $K$ convergente vers $x$,
Soit $x\in K$, et $( x_n)$ une suite d'éléments de $K$ convergente vers $x$,
$\forall \epsilon >0$, il existe une suite strictement croissante $n_k$ telle que
$|f_{n_k}(x_k)- f(x_k)|< \epsilon /2$. Puisque (facile à voir) $\lim_{k\to +\infty} f_{n_k}(x_k) = f(x),$, il existe $k_{\epsilon}$ tel que $|f_{n_k}(x_k)- f(x)| <\epsilon /2$ pour tout $ k \geq k_{\epsilon}$.
La continuité de $f$ en $x$ s'ensuit par : $|f(x_k)- f(x)| \leq |f(x_k)- f_{n_k}(x_k)| + |f_{n_k}(x_k)- f(x)| < \epsilon$, pour tout $k \geq k_{\epsilon}$
Vraie ou faux
La continuité de $f$ en $x$ s'ensuit par : $|f(x_k)- f(x)| \leq |f(x_k)- f_{n_k}(x_k)| + |f_{n_k}(x_k)- f(x)| < \epsilon$, pour tout $k \geq k_{\epsilon}$
Vraie ou faux
Le 😄 Farceur
Réponses
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Qui est $X$ ?
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Bonjour,
La démonstration fonctionne, mais elle serait plus compréhensible avec plus de justifications. Il faudrait notamment dire sur quelles suites on applique l'hypothèse. Et je fais remarquer que l'hypothèse de compacité n'a pas été utilisée.
Une autre façon snob de voir les choses grâce à la notion de $\Gamma$-convergence :
$(f_n)$ $\,\Gamma$-converge vers $f$ et $(-f_n)$ $\,\Gamma$-converge vers $-f$. Or toute $\Gamma$-limite est s.c.i. (semi-continue inférieurement). Donc $f$ et $-f$ sont s.c.i., donc $f$ est continue. -
Pourquoi ce sujet est-il dans shtam ?[C'est l'auteur initial qui l'y a mis. AD]Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Bonsoir @Calli J'ai laissé deux points sans justifications pour pouvoir proposer cette question au shtam . C'est une récréation mathématiques. Pour la compacité , chacun est libre de l'utiliser ou non. Je pense que tu n'as pas suivi ce fil tordu ainsi que Foys https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2331882/convergence-uniforme-et-continuite#latestLe 😄 Farceur
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