Identité avec coefficients binomiaux
Bonjour
Connaissez-vous un moyen "rapide" de démontrer que $$\sum_{k=0}^{n} \binom{2k}{k}\,\binom{2n-2k}{n-k} =4^{n},$$ pour tout entier $n \geq 2$ avec des outils de maths sup' ?
Connaissez-vous un moyen "rapide" de démontrer que $$\sum_{k=0}^{n} \binom{2k}{k}\,\binom{2n-2k}{n-k} =4^{n},$$ pour tout entier $n \geq 2$ avec des outils de maths sup' ?
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Réponses
Il doit y avoir une preuve combinatoire. Peut-être quelque chose dans le genre des nombres de Catalan. Mais je ne vois pas.
Cette formule se démontre pour $a$ et $b$ entiers naturels comme l'a indiqué P.2 ou bien en calculant de deux manières le nombre de façons de choisir $n$ personnes dans un groupe formé de $a$ filles et $b$ garçons. Elle s'étend ensuite à $\R$ et $\C$ en utilisant le fait qu'un polynôme non nul n'a qu'un nombre fini de racines.
De cette formule de Vandermonde on déduit aisément d'autres formules comme $$\sum_{i+j=n}{\binom {a+i} i}{\binom {b+j} j}={\binom {a+b+n+1} n}$$ et $$\sum_{i+j=n}{\binom {a-i} j}{\binom {b-j} i}={\binom {a+b-n+1} n}$$
\sum_{i+j+k=n}{2i \choose i}{2j \choose j}{2k \choose k}&=(2n+1){2n \choose n}\\
\sum_{i+j+k+l=n}{2i \choose i}{2j \choose j}{2k \choose k}{2l \choose l}&=(n+1)4^{n}\\
\sum_{i+j+k+l+m=n}{2i \choose i}{2j \choose j}{2k \choose k}{2l \choose l}{2m \choose m}&=\frac{(2n+1)(2n+3)}{3}{2n \choose n}\\
\sum_{i_{1}+i_{2}+i_{3}+i_{4}+i_{5}+i_{6}=n}{2i_{1} \choose i_{1}}{2i_{2} \choose i_{2}}{2i_{3} \choose i_{3}}{2i_{4} \choose i_{4}}{2i_{5} \choose i_{5}}{2i_{6} \choose i_{6}}&=\frac{(n+1)(n+2)}{2}4^{n}\\
\sum_{i_{1}+i_{2}+i_{3}+i_{4}+i_{5}+i_{6}+i_{7}=n}{2i_{1} \choose i_{1}}\cdots{2i_{7} \choose i_{7}}&=\frac{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}{15}{2n \choose n}
\end{align*}
Pour le cas impair je suppose qu'on a: $$\sum_{\sum_{r=1}^{2m+1}i_{r}=n}\prod_{r=1}^{2m+1}{2i_{r} \choose i_{r}}=\left(\prod_{k=1}^{m}\frac{2n+2k-1}{2k-1}\right){2n \choose n}$$ Et pour le cas pair $$\sum_{\sum_{r=1}^{2m}i_{r}=n}\prod_{r=1}^{2m}{2i_{r} \choose i_{r}}=\left(\prod_{k=1}^{m-1}\frac{n+k}{k}\right)4^{n}$$