fg-gf=id (espaces vectoriels normés)

Soient $f$ et $g$ des endomorphismes continues de $E$. Notons comme c'est l'usage $[f,g]=f\circ g - g\circ f$ le commutateur de $f$ et $g$. On suppose par l'absurde que $[f,g] = \operatorname{id}_E$.

(1) Montrer que $[f,g^n] = n\,g^{n-1}$ pour tout entier $n \geqslant 1$.

(2) Aboutir à une contradiction en prenant la norme d'opérateur.

C'est quand même particulièrement raide sans indication si on ne l'a jamais vu...