Inversion min/max en géométrie différentielle

Pour le contexte, on considère une variété Riemannienne $M$ et on veut construire une structure Riemannienne sur l'ensemble des mesure de probabilité sur $M$, noté $P$. En omettant les détails, on parvient à identifier l'espace tangent en $\mu \in P$ à l'ensemble des fonctions de $M$ dans $\mathbb{R}$. On aboutit finalement à l'égalité $$\displaystyle \frac{1}{2} \text{dist}(\mu_0, \mu_1)^2 = \inf_{\mu_t} \sup_{\phi_t} \left( -\int_0^1dt \int (\partial_t \phi_t +\frac{1}{2} |\nabla \phi_t|^2) d\mu_t  + \int \phi_1 d\mu_1 - \int \phi_0 d\mu_0 \right)$$
Ici, la distance est la distance géodésique induite par le produit scalaire $$\displaystyle \langle \phi, \tilde{\phi} \rangle = \int_M \nabla \phi . \nabla \tilde{\phi} d\mu$$
Le sup est pris sur l'emsemble des champs de vecteurs tangents à la courbe ($\phi_t$ est élément de $T_{\mu_t}P$ et est donc une fonction de $M$ dans $\mathbb{R})$ et l'inf est pris sur l'ensemble des courbes $\mu$ d'extrémités $\mu_0$ et $\mu_1$.

L'interversion de l'inf et du sup est justifiée dans l'article par "the use of minimax principle", mais je n'arrive ni à avoir l'intuition de ce qui permet de la réaliser, ni à mettre le doigt sur un théorème précis qui pourrait être utilisé.

L'égalité qui suit m'apparaît tout aussi obscure : pourquoi le premier terme saute ? Par exemple, si on choisit $\phi$ constant sur $M$ à $t$ fixé, et décroissant selon $t$, disons $\phi(t) = -t$ en tout point de $M$, alors le gradient devrait s'annuler et la dérivée temporelle vaut -1. Ainsi quelque soit la mesure de probabilité $\mu_t$ choisie, le première (double) intégrale devrait valoir -1, et difficile donc d'éliminer ce premier terme, mais ou est mon erreur ?

Merci pour votre aide