Fonction réciproque difficile

Le problème est de résoudre l'équation $$y=e^{-\epsilon x}\sinh(x)$$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$

$$e^{ax}-e^{bx}=2y\quad;\quad a=1-\epsilon \quad;\quad b=-1-\epsilon$$

$$X=e^x\quad;\quad Y=2y$$

$$\boxed{X^a-X^b=Y}$$

La résolution analytique est connue seulement dans certains cas , par exemple pour $a$ et $b$ entiers $<5$, Et même jusqu'à $5$ avec des fonctions spéciales (Fonctions Thêta de Jacobi). Mais, dans le cas général on ne dispose pas de fonction spéciale standard convenant pour ce problème. A fortiori pour $a$ , $b$ non entiers.

Donc, dans le cas général,  la résolution (non rigoureusement exacte) de ce problème se fait par des méthodes de calcul numérique, ou éventuellement du calcul approché par séries.