L'algèbre des polynômes

[Utilisateur supprimé] · September 2022

(cette discussion est à l'intersection entre algèbre et logique)
J'essaie ici de recenser les différentes façons de construire l'algèbre des polynômes à coefficients dans un anneau $A$ et à indéterminée dans un ensemble $X$:

Soient $A$ un anneau et $X$ un ensemble, je connais deux façons de construire l'algèbre des polynômes à coefficients dans $A$ et à indéterminée dans $X$.

1. Par la théorie des modèles.
On prend le langage des $A-algebres$ auquel on rajoute les éléments de $X$ en tant que symboles de constante et on quotiente l'ensemble des termes clos du langage par la relation $aRb := T\models a\sim b$ où T est la théorie (universelle) des $A-algebres$.

2. On construit le monoïde libre $M$ de base $X$, on construit le $A-module$ libre de base $M$ et on construit le produit de deux éléments du $A-module$.

Je cherche d'autres façons de construire l'algèbre des polynômes si vous en avez

Médiat_Suprème · September 2022

Les suites à support fini de couples de $A\times \mathbb N$ et on interprète l'entier comme un monôme en les variables $(X_1, X_2, \cdots)$ qui peut se voir comme une fonction (fixe) de $\mathbb N$ dans $X$.

Mais cette construction me semble sans le moindre intérêt

et ne marche que pour $X$ dénombrable (sinon, c'est encore plus artificiel).

[Utilisateur supprimé] · September 2022

Merci @Médiat_Suprème

Math Coss · September 2022

Il serait dommage de ne pas mentionner que l'algèbre des polynômes est solution d'un problème universel : l'algèbre des polynômes est une algèbre $A[X]$ munie d'une application $u:X\to A[X]$ telle que pour toute $A$-algèbre $B$ et toute application $v:X\to B$, il existe un unique morphisme $w:A[X]\to B$ tel que $v=w\circ u$ : \[\xymatrix{X\ar[rr]^{u}\ar[dr]_{v}&&A[X]\ar[dl]^{w}\\&B.}\]

Médiat_Suprème · September 2022

cohomologies parle de polynômes en plusieurs variables, $X$ n'est pas une variable, mais un ensemble de variables.
@Math Coss, il y a une interversion des morphismes $v$ et $w$ sur le schéma

Foys · September 2022

En supposant qu'on sait construire $A[X]$ pour tout anneau commutatif $A$, on construit par récurrence $A[X_1,\ldots,X_n]:= A[X_1,\ldots,X_{n-1}] [X_n]$ pour tout entier $n$, puis étant donné un ensemble $E$, $A[X_i, i \in F]$ pour $F$ parcourant l'ensemble $\mathcal P_{F} (E)$des parties finies de $E$. Si $F,G$ sont de telles parties finies (édité: telles que $F\subseteq G$), on a un morphisme canonique de $A$-algèbres $c_{F,G}: A[X_i, i \in F] \to A[X_i, i \in G]$ envoyant $X_k$ sur $X_k$ pour $k\in F$.

Comme vous l'imaginez bien, $A[X_i,i\in E]$ va être la limite inductive des $(A[X_i, i\in F], c_{F,G})_{F,G \in \mathcal P_F(E)}$ .

Médiat_Suprème · September 2022

Et si $X$ (les variables) n'est pas dénombrable ... Au moins la rédaction est à changer.

GaBuZoMeu · September 2022

Bonsoir,

La dénombrabilité n'a aucune importance : que $E$ soit dénombrable ou pas, $A[X_i, i\in E]$ est la limite inductive filtrante des $A[X_i,i\in F]$ pour les $F$ parties finies de $E$.

Médiat_Suprème · September 2022

C'est pourquoi je parlais de la rédaction ("pour tout entier $n$ " par exemple).

GaBuZoMeu · September 2022

Bof. Si j'avais à faire une remarque sur ce qu'a écrit Foys, ce serait plutôt qu'il a oublié d'écrire $F\subset G$.

Foys · September 2022

Certes; à vrai dire on ne sait pas trop ce que veut dire "l'application canonique qui à $X_k \in A[X_i, i \in F]$ associe $_k \in A[X_i, i \in G]$" dans le cas contraire...

[Utilisateur supprimé] · September 2022

Merci à vous tous, surtout @Foys et @GaBuZoMeu, je ne connaissais pas cette construction par limite inductive filtrante. Désolé tout le monde pour le temps que j'ai pris pour répondre.

Bien cordialement

Barjovrille · October 2022

Bonjour,
Je suis intéressé par la construction 2) de @cohomologies est ce que quelqu'un peut m'expliquer ou me donner un lien/référence sur comment construire le monoïde libre $M$ de base $X$ à partir de $X$.

Et pour passer du monoïde $M$ au $A-$ module est ce qu'il faut passer par la somme directe $A^{(M)}$ ?

[Utilisateur supprimé] · October 2022

Pour construire le monoïde libre de base $X$, il suffit de considérer l'ensemble des applications dont la source est un ordinal fini et dont le but est X.
Ensuite il s'agira bien de $A^{(M)}$, et on défini le produit par "convolution".
Edit. J'ai écrit la définition autrement pour plus de clarté.