Notation fonction
Réponses
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@Bibix : Ce que je veux dire, c'est qu'il y a des bonnes notations dont l'interprétation dépend du contexte, oui. (Pour le dernier exemple, je ne vois personne utiliser des $\in$ à la place de $=$ dans les calculs de DL. Pour reprendre la lettre $\mathrm{d}$, elle s'interprète assez souvent comme la mesure de Lebesgue quand elle apparaît dans une intégrale, mais aussi comme la différentielle extérieure d'une forme différentielle. Parfois il y a une vraie différence, comme dans $\int_2^1x\,\mathrm{d}x$ et $\int_{[1,2]}x\,\mathrm{d}x$.)@cohomologies : 1) Tu as de la chance que ce soit l'exponentielle et pas $x\mapsto 1/(1-x)$, parce qu'avec ta définition trop large (fonctions définies partout, qui peuvent ici ou là prendre la valeur $1$), on ne peut pas appliquer une fonction à un $o_a(f)$ ; 2) tu saurais simplement citer le théorème de composition des DL avec des $\in$ ? 3) tu vois bien que l'objection principale est à l'étape suivante : en pratique, c'est déjà malcommode pour une simple composition, ça devient ingérable très, très vite. Ce que je veux dire, c'est que remplacer une égalité douteuse par des $\in$, c'est ouvrir la porte à des complications tout à fait contre-productives. D'ailleurs personne ne le fait, si ce n'est en passant au début du cours sur les DL. Et pourtant, la notation est opérante/efficace, donc bonne (la première qualification est un constat, la deuxième est subjective).
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Belle performance artistique !
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Etant données deux expression $P,Q$, la graphie "$P\underset{x \to a}=o(Q)$" (resp $P\underset{x \to a}=O(Q)$) est une abréviation de "il existe une fonction $\eta$ de limite nulle en $a$ (resp. bornée au voisinage de $a$), telle que $P = \eta(x)Q$ pour tout $x$ .Quand on évoque cela à voix haute, on dit que "$P$ est un petit o (resp grand o) de $Q$". En français le verbe être est polysémique. Donc il convient de donner les véritables propriétés qui sont abrégée par ces phrases vagues. L'efficacité de l'introduction de ces notations est a relativiser par le fait qu'il faut constamment rappeler aux étudiants de ne pas additionner les petits/grands o (ce qu'ils font quand même) ...Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Moi-même (qui ne suis plus étudiant), j'ajoute les o. Ex. : $o(x)+o(x)=o(x)$, $o(x)+o(x^2)=o(x)$, etc. Je ne vois pas de problème.
Si vous vous rappelez, il s'agissait de mettre en cause la notation $=$, pas celles de Landau...
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@Math Coss mais lorsque pour tout $x\in \R$, $f(x):=g(x):=x^2$, $F(x):=x$ et $G(x):= -x - x^3$, on a au voisinage de $0$, $f=o(F)$, $g=O(G)$ mais quid de $f+g$ et $F+G$, et peut-on dire que $o(F)+o(G)=o(F+G)$ ?
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Tu penses sérieusement que MathCoss ne sait pas répondre à ces questions très élémentaires ? Où veux-tu en venir ?Les relations $o$ et $O$ sont très utiles pour faire de l'analyse et quelqu'un qui fait n'importe quoi avec est juste un mauvais analyste (ou un analyste en progression...). Pas de quoi jeter le bébé avec l'eau du bain me semble-t-il.
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Moi je veux juste corriger le bébé et non le jeter.
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Beaucoup de gens font du calcul asymptotique avec ces notations et cette souplesse opératoire depuis des décennies. Pourquoi vouloir corriger un truc qui fonctionne plutôt bien ?
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On augmenterait son accessibilité si on en donnait une version non ambigu, je crois.
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Pas sûr. Mais c'est un avis personnel contre un autre avis personnel...cohomologies a dit :Du coup ce serait plutôt $\exp \circ \sin \in \exp \circ \Bigl((x\mapsto x-\frac{x^3}{6})+o(x\mapsto x^3)\Bigr)$, on est juste en train d'utiliser le schéma de remplacement (2 fois ici).
En effet, on a $\exp \circ \bigl((x\mapsto x-\frac{x^3}{6})+o(x\mapsto x^3)\bigr) =\big\{\exp\circ z\mid z\in (x\mapsto x-\frac{x^3}{6})+o(x\mapsto x^3)\big\}$
et on a $(x\mapsto x-\frac{x^3}{6})+o(x\mapsto x^3)= \big\{ (x\mapsto x-\frac{x^3}{6})+h\mid h\in o(x \mapsto x^3)\big\}$.
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@JLapin oh je fais confiance à @Math Coss pour la maîtrise de ces sujets, je réagissais juste aux propos disant qu'on "peut sommer des o(...)".Ces notations ne sont souples que quand on sait ce qu'elles veulent dire.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Je prends note de cet exemple, je n'ai pas de souvenir d'avoir vu apparaître ce type d'erreurs chez des étudiantes.Un collègue plus ancien et capé que moi disait que des abus de notations avaient (en principe) pour mérite de forcer à réfléchir à ce qu'ils signifient.
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Pour marquer le coup, à propos des notations de Landau, je martèle à mes élèves que $f(x)=o(x)$ ne se lit pas "$f(x)$ égale petit $o$ de $x$" mais "$f(x)$ est UN petit $o$ de $x$" ou encore que $g(x)=3x+o(x)$ se lit "$g(x)$ est égal à $3x$ plus UN petit $o$ de $x$". L'article indéfini est là pour souligner qu'à chaque fois qu'on rencontre UN petit $o$, ce n'est pas forcément le même.Il est vrai que la lecture en français d'un énoncé mathématique pose de plus en plus de problème... et j'ai même dû me battre avec de très bons étudiants qui ne comprenaient pas quand je les reprenais lorsqu'ils lisaient $\forall x\in B, \dots$ en disant "Pour tout $x$ appartient à $B$, ..." au lieu de "Pour tout $x$ appartenant à $B$, ..."
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@bisam, c'est le français qui pose problème à tes étudiants car "pour tout x appartient à b", c'est pas du français, ça n'a aucun sens. Mais bon, pour avoir eu des personnes de la même génération que tes étudiants (je crois) au téléphone (ils assuraient des services téléphoniques), je peux affirmer que bon nombre d'entre eux ne maîtrisent pas le français. Ils se comprennent entre eux, mais nous ne pouvons les comprendre, ils se sont créé leur propre langue.
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N'est-ce pas plutôt un problème de traduction symbolique ? On apprend aux étudiants que $\in$ se lit "appartient", les étudiants se retrouvent donc dans cette situation $$\underbrace{\forall}_{\text{pour tout}} x \underbrace{\in}_{\text{appartient}} B$$ Pour peu que l'étudiant soit un tout petit peu en situation de stress ou que le temps soit imparti, celui-ci va aller au plus simple car c'est comme ceci que fonctionne notre cerveau : il emprunte la route synaptique la plus efficiente ; or quelle est la plus efficiente dans ce contexte ? Je t'le donne dans l'mille : la lecture symbole par symbole et donc, fatalement, "appartient".
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Oui, enfin, $\in$ désigne un verbe, le symbole est invariable mais quand on lit à haute voix, on devrait conjuguer.
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Bien évidement @Math Coss, car en bons membres de les-mathematiques.net que nous sommes, nous ne faisons absolument aucune erreur et nous formulons tous nos phrases correctement, qu'importe la situation, que celle-ci soit ou non stressante !
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Moui... Je vais y réfléchir à deux fois avant de compatir, cependant. Bisam semblait parler d'une erreur relativement fréquente et pas d'une erreur isolée. Ce qu'il pointe, ce n'est pas qu'elle soit commise mais qu'elle ne soit pas comprise, même après désignation.
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Oui. Néanmoins nous ne savons rien des situations au cours desquelles il relève cette erreur à ses étudiants.Si il les relève en khôlles ou lorsque ses étudiants répondent à un exercices/une question en cours nous nous retrouvons dans la situation stressante. Si toutefois, il en parle à la pause dej', bon, bah, il y a plus de chance que l'étudiant soit réceptif.Je précise que je ne cherche pas d'excuse, hein, juste une explication autre que « c'est la décadence, tout va à vau-l'eau, ma bonne dame ! »
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Etant donné un énoncé $\Phi$, $\forall x \in B, \Phi$ est une abréviation de $\forall x (x \in B ) \Rightarrow \Phi$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Je dis (et ne suis pas la seule) "dans" plutôt que "appartient" pour $\in$. $\forall x \in A$ je le lis "pour tout $x$ dans $A$". Donc non $\in$ ne désigne pas nécessairement un verbe.
Pour en revenir aux notations de Landau ($o$, $O$, etc.), c'est justement leur grande souplesse d'utilisation (pouvoir les mélanger avec les symboles $=$, $+$, etc.) qui font qu'elles sont extrêmement puissantes et donc utilisées partout.
Alors certes c'est un peu dangereux quand on n'a pas l'habitude et c'est un peu difficile pour les étudiants, mais avec un peu d'entraînement ça passe, et honnêtement vouloir s'en passer pour faire de l'analyse asymptotique c'est vraiment se tirer une balle dans le pied.
En maths, il y a des abus de notations dans tous les sens sinon ça devient invivable. Personne ne râle quand on dit "soit $G$ un groupe et soit $x \in G$" (on confond le groupe et l'ensemble), "$(1,2)+(3,4) = (1+3,2+4)$" (+ ne désigne pas la même loi), $5 \in \mathbb Z$ (on a identifié $\mathbb N$ à un sous-ensemble de $\mathbb Z$), identifier les matrices de taille (1,1) avec les scalaires, les fonctions constantes avec les constantes, etc.
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« invivable » (remarque : lorsque « invivable » est mis de coté, on ne peut plus dire que c'est inutile), me donne l'impression d'une vision trop en noir et blanc, il y a peut-être un intérêt du moins quelque fois (mais c'est à ceux qui l'avancent d'en apporter la preuve). Mais sur le fond, vous avez raison.
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La précaution pour le « = » et Landau, c’est d’écrire le détail avec $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$ ou d’autres lettres quand il faut mouiller la chemise avec un scalpel.Ce n’est pas non plus très difficile (une fois acquis, certes…).Comme dit plus haut, ça rend quand même des lignes de calculs plus claires au lieu d’avoir des lignes de symboles d’appartenance qui le sont bien moins de mon point de vue.
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Je ne suis pas sûr mais je crois que les notations de Landau sont plus vieilles que la théorie des ensembles.
Le but de Georg Cantor c'était d'unifier les mathématiques, mais bon on continue à vouloir garder des vestiges d'avant la théorie des ensembles intactes, sans mise à jour.
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Je suis d'accord avec tout ce qui a été dit (sauf pour l'exemple de Velvet avec la loi $+$ qui est juste une authentique surcharge, donc pas un abus de notation pour moi). Mais je pense qu'on devrait quand même se poser la question. Prenons l'exemple de $f \in L^2(\Omega)$. Stricto sensu, $f$ est une classe d'équivalence de fonctions. Mais si $f$ est une fonction, on utilise cette notation pour désigner l'identification de $f$ avec une classe d'équivalence dans $L^2(\Omega)$. Ce genre de choses arrive dès qu'on construit des quotients d'un espace par une relation d'équivalence. Donc ce n'est vraiment pas rare. Ne serait-il pas plus judicieux dans ce cas d'exprimer l'identification par un autre symbole ? Et pour le "=" de Landau, c'est pareil. Moi par exemple, ça m'arrive de mettre une demi-flèche vers la droite pour signifier que ce n'est pas symétrique, mais je ne doute pas qu'il y ait de meilleures notations.
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La notation de Landau est d’ailleurs le « $o(.)$ ».L’utilisation ne se fait pas qu’avec un « = » mais avec les deux symboles à la fois (« = » + « $o(.)$ »).Pour ma part je ne mets le « $o(.)$ » que à droite du « = ».S’il m’est arrivé de l’écrire à gauche, ce fut très rare et je ne m’en souviens même pas. Il faudrait que je regarde…
Ainsi, c’est bien une notation « avec un sens ».Le symbole est « $f=g+o(h)$ ». Il contient un « = » mais il est accompagné du $o(.)$, disons « indissociable ». -
Oui mais ça ne marche pas pour le calcul. Comment on écrirait ça par exemple :
$$(1 + x + o(x))(1 - x + o(x)) = 1 + o(x)\ ?$$ -
@Bibix sous ma définition, à la place du symbole d'égalité dans ta formule, on aurait le symbole d'inclusion. Pour moi, on manipule des ensembles de fonctions.
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Je n'aime pas $f=g+o(h)$ , $f$,$g$ et $h$ étant 3 lettres consécutives de l'alphabet,
Je préférerais $f=g+o(u)$
Sinon, effectivement, $g+o(u)=f$ , ça pique les yeux.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Bibix, je n’écris pas ces choses-là.Je ne l’interdis à personne, bien entendu.
J’écris plutôt :
si $f=g+o(h)$ et $a=b+o(c)$, alors $f+a=…$.ou encore
si $f=o(u)$ alors $f=o(v)$, etc.Mais là encore, je n’ai pas de souvenir réel où il est très pratique (voire d’usage « obligatoire » pour la concision et la clarté) de mettre un $o(.)$ à gauche.Au sujet de lettres, en effet, pour mes généralités j’ai pris des lettres sans réfléchir. Je suis d’accord qu’il existe des usages permettant de mieux s’y retrouver… c’est un autre sujet selon moi. -
Concernant le + de @Velvet, en effet, ce n'est pas un abus de langage, on a juste affaire à deux structures qui utilisent le même langage. Le + n'est pas une fonction, mais un symbole de fonction qu'il faut interpréter selon la structure sur laquelle on travaille.
L'exemple du groupe, c'est ce que j'appelle un abus de fainéantise. L'inclusion de N dans Z: le monoïde libre de base 1 se plonge assez canoniquement dans le groupe libre de base 1, mais c'est un abus en effet, je te l'accorde. -
Le but de Cantor était de répondre à des questions d'analyse et le concept d'ensemble s'est révélé commode pour cela, mais ce n'était pas un formaliste. La tentative d'unification, en fait de fondation des mathématiques par la théorie des ensembles est plutôt le fait de Frege puis de Hilbert (tentative quoi qu'on en pense très réussie pendant environ un siècle jusqu'à ce que de nouveaux besoins issus notamment de la théorie des catégories en montrent les limites).cohomologies a dit :Le but de Georg Cantor c'était d'unifier les mathématiques.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Foys merci pour ta correction sur l'histoire des mathématiques.
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Même l'un des plus grands topologues du 20è siècle ne s'embêtait pas à faire la distinction entre les flèches $\mapsto$ et $\to$: "on écrit aussi $x \to f(x)$ une fonction $f$. Il faut bien s'habituer à considérer une fonction $f$ comme un nouvel objet et ne pas confondre une fonction $f$ et ses valeurs $f(x)$."(Calcul infinitésimal, J. Dieudonné, p.24).
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@stfj tu viens de me pousser à me demander si une fonction peut être dans son but: $\exists f\exists af(a)=f$ ?
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+10, il suffit, d'ailleurs, de constater que $\forall x \in B, \Phi$ est mal formée (n'existe pas) pour que la question soit évacuée.Foys a dit :Etant donné un énoncé $\Phi$, $\forall x \in B, \Phi$ est une abréviation de $\forall x (x \in B ) \Rightarrow \Phi$.Il ne faut pas respirer la compote, ça fait tousser.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse -
ZF est équiconsistant avec ZF + l'axiome (niant l'axiome de fondation) "il existe $x$ tel que $x=\{x\}$". Soit $a$ un tel ensemble (tel que $a=\{a\}$). Alors $a=\{a,a\}$ et donc $(a,a) = \{\{a\}, \{a,a\}\} =\{a\} = a$. Par suite $a$ est une fonction (ensemble constitué d'un seul couple) de $a$ dans lui-même, telle que $a(a) = a$.cohomologies a dit :@stfj tu viens de me pousser à me demander si une fonction peut être dans son but: $\exists f\exists af(a)=f$ ?
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Foys je ne vois pas comment construire x tel que x={x} dans ZF-AF. Mais si on a un tel x, alors ça marche.
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@Foys : si tel est le cas, peut-être voulais-tu écrire \(\{(a,a)\} = \{\{\{a\}, \{a,a\}\}\} =\{\{a\}\} = \{a\}=a\).
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
@Thierry Poma tout est égal ici.@cohomologies on suppose ZF (sans rien d'autre, et sans axiome de fondation). Soit $R$ une relation fonctionnelle bijective (i.e. $R$ a exactement deux variables libres, mettons $x$ et $y$, et ZF démontre $\left ( \forall x \exists ! y R(x,y) \right ) \wedge \left ( \forall x \exists ! y R(y,x) \right )$ ).Alors si on écrit $"a \in^R b"$ pour abréger $\forall t,R[x:=b,y:=t] \Rightarrow a \in t $ (informellement "$a$ appartient à l'image de $b$ par $x,y\mapsto R$") alors $\in^R$ satisfait tous les axiomes de ZF. Si $T$ est un théorème de ZF, l'énoncé obtenu en rempaçant partout $\in$ par $\in^R$ dans $T$ en est encore un.On peut alors trouver $R$ convenable tel qu'on ait "$a=\{a\}^R"$ (le "$\{a\}^R$" désignant l'unique $x$ tel que pour tout $z$, $z\in^R x$ si et seulement si $z=a$).Par exemple $R$ échange $\emptyset$ et $\{\emptyset\}$ et laisse identique tout le reste. Alors on peut vérifier que $\emptyset = \{\emptyset\}^R$pour un tel $R$ (et que $\{\emptyset\}$ est vide pour $\in^R$ !!!).Consulter J.-L. Krivine, Théorie des ensembles p.75 pour ces développements.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Merci @Foys, je vais consulter le Krivine.
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