De quelle hauteur tomber pour se casser une jambe ?
Bonjour.
Je me souviens de mon premier dm de physique : la question était celle du titre. Des années plus tard j'essaie de retrouver une réponse (premier dm, notions élémentaires sur les ressorts pour toute connaissance donc). Je préparais un cours particulier pour un élève et j'ai voulu le retenter.
L'approche qui me paraît naturelle est évidemment la conservation de l'énergie, pour en déduire l'allongement de la jambe au point d'impact en supposant que toute l'énergie cinétique est remise sous forme d'énergie potentielle élastique, pour avoir une forme du type $kx^{2} = m.2gh$, avec $m$ la masse de l'individu, $k$ la raideur de sa jambe, et $h$ la hauteur cherchée.
Après deux trois recherches sur le module de Young, j'ai ma formule $k = \frac{SE}{l}$ en assimilant la jambe à un seul os cylindrique, de longueur on va dire 80 cm et de section $4\pi.10^{-4} m^2$, et où $E$ est le module de Young de $1,8.10^{10} Pa$.
Le problème est de traduire la condition "quand ça va craquer". Je vois deux solutions : dire, un peu facilement, que ça craque si l'allongement $x$ atteint une fraction de la valeur à vide "raisonnablement envisageable", comme un allongement égal à la longueur à vide tout court par exemple (je trouve 5m et des brouettes, mais je vise très large).
L'autre, qui demande des notions sur la pression que l'élève à qui je destine l'exercice n'a pas encore, est de chercher la pression de rupture d'un os sur internet, calculer la force associée à mon allongement calculé au début, et voir quand la rupture est atteinte. Elle est moins aléatoire sur les postulats.
En bidouillant ma formule, en notant $P_{l}$ la pression limite que l'os peut subir (valant apparemment $10^8 Pa$) et partant de ma formule, je trouve $h = \frac{SlP_{l}}{2Egm}$.
Ma formule ne me paraît pas affolante sur les dimensions et dépendances en les variables mais je n'obtiens que quelque chose de l'ordre du demi mètre.
Bref, des experts pour m'aider ?
Je considère vraiment le moment de chute uniquement.
Je me souviens de mon premier dm de physique : la question était celle du titre. Des années plus tard j'essaie de retrouver une réponse (premier dm, notions élémentaires sur les ressorts pour toute connaissance donc). Je préparais un cours particulier pour un élève et j'ai voulu le retenter.
L'approche qui me paraît naturelle est évidemment la conservation de l'énergie, pour en déduire l'allongement de la jambe au point d'impact en supposant que toute l'énergie cinétique est remise sous forme d'énergie potentielle élastique, pour avoir une forme du type $kx^{2} = m.2gh$, avec $m$ la masse de l'individu, $k$ la raideur de sa jambe, et $h$ la hauteur cherchée.
Après deux trois recherches sur le module de Young, j'ai ma formule $k = \frac{SE}{l}$ en assimilant la jambe à un seul os cylindrique, de longueur on va dire 80 cm et de section $4\pi.10^{-4} m^2$, et où $E$ est le module de Young de $1,8.10^{10} Pa$.
Le problème est de traduire la condition "quand ça va craquer". Je vois deux solutions : dire, un peu facilement, que ça craque si l'allongement $x$ atteint une fraction de la valeur à vide "raisonnablement envisageable", comme un allongement égal à la longueur à vide tout court par exemple (je trouve 5m et des brouettes, mais je vise très large).
L'autre, qui demande des notions sur la pression que l'élève à qui je destine l'exercice n'a pas encore, est de chercher la pression de rupture d'un os sur internet, calculer la force associée à mon allongement calculé au début, et voir quand la rupture est atteinte. Elle est moins aléatoire sur les postulats.
En bidouillant ma formule, en notant $P_{l}$ la pression limite que l'os peut subir (valant apparemment $10^8 Pa$) et partant de ma formule, je trouve $h = \frac{SlP_{l}}{2Egm}$.
Ma formule ne me paraît pas affolante sur les dimensions et dépendances en les variables mais je n'obtiens que quelque chose de l'ordre du demi mètre.
Bref, des experts pour m'aider ?
Je considère vraiment le moment de chute uniquement.
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Réponses
La sécu financera tout en plus : plus à se plaindre des problèmes de budget dans la recherche !
Parce que je suis trop fainéant pour calculer les termes en $x^2$ du développement de Taylor.
Je pensais aussi au pied qui avec sa surface importante prenait une bonne part du choc sur lui.
Puis j'ai appris en faisant des recherches que des gens s'étaient brisé le fémur en sautant d'une table. Ce qui au final m'a rassuré (vous m'avez compris, je n'ai rien contre ces pauvres gens).
Mais je suis content de voir que c'est bien la simplification de la modélisation la responsable et non le raisonnement en lui-même (je compte poser cette question ouverte à un élève en cours particulier qui ne connaît que la loi de Hooke comme je disais, donc on fait très très simple ; je me suis juste assuré de la légitimité d'ignorer la raideur des muscles et de considérer tibia et fémur comme un seul os. Pas envie de parler de déplacement du centre de gravité, de fléchissement des jambes, etc, on reste vraiment dans l'optique d'un jeune étudiant de sup tout frais débarqué de la suite logique des événements).
Je ne doutais pas de ma formule (elle colle dimentionnellement et en les variations selon les paramètres) mais j'avais besoin d'être rassuré. Encore merci à Renart !