Courbes ON = e rho

rferreol2
rferreol2
dans Géométrie
Bonjour,

Quelles sont les courbes en coordonnées polaires telles que la mesure algébrique ON où N est l'intersection de la normale avec l'axe polaire est proportionnelle au rayon vecteur rho ?
Des références éventuelles pour ce résultat ?
Merci !

Réponses

  • poulbot
    poulbot
    Modifié (September 2022)
    Bonsoir
    $\overline{ON}=\dfrac{\rho \dfrac{d\rho }{d\theta }}{\dfrac{d\rho }{d\theta }\cos \theta -\rho \sin \theta }$
    D'où l'équa diff linéaire homogène qui conduit aux courbes d'équation polaire $\rho =\dfrac{p}{1-e\cos \theta }$ (qui sont bien connues).
    Bien cordialement. Poulbot
  • rferreol2
    rferreol2
    O est donc un foyer F de cette conique,  et ceci montre que FN/FM est égal à l'excentricité de cette conique. Je n'ai pas trouvé de démonstration géométrique de cette propriété, par exemple pour une ellipse...

  • pappus
    pappus
    Modifié (September 2022)
    Bonne nuit à tous et faites de beaux rêves.
    Comme on s'en doute un peu, c'est fait dans le Lebossé-Hémery.
    Amicalement
    pappus
    pappus


  • rferreol2
    rferreol2
    Modifié (September 2022)
    Impressionnant !
    Apparemment, cela ne figure plus dans mon édition de 1965. Rappelle moi stp la date de ton édition ?
    Il doit aussi y avoir le pendant hyperbolique. Et dans mon édition, il y a bien MF = FN (=FT) pour la parabole.
    Mais je ne doute pas que cette propriété était archi-connue des géomètres du 19 ème...
    Je l'ai reprise du texte https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03727617/document  qui m'a été envoyé.
    Et j'ai bien aimé ce cas où une équation ON = f(rho) aboutit à une simple, et rarissime en géométrie différentielle, équation linéaire.
  • pappus
    pappus
    Mon cher Robert
    Mon édition date de 1947, le début de ces programmes juste après la guerre!
    Amitiés
    pappus

  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonjour Robert, bonjour Pappus,
    Mes livres de maths de Terminale C étaient les Lespinard et Pernet, avec les programmes de 1966. 
    Je viens d'y rechercher cette relation, et je peux dire qu'elle faisait l'objet de la première question de l'exercice B-396, en page 312 du livre de géométrie.
    Peut-être en est-il de même, Robert, dans ton LH de 65 ?
    Bien amicalement, JLB
     
  • rferreol2
    rferreol2
    Bonsoir, merci pour cette info. Mon Lespinard et Pernet est celui de math elem 1962 et je ne retrouve pas l'exercice que tu donnes. Peux tu me dire dans quel chapitre il se trouve, et éventuellement une photo de l'énoncé ?

    D'autre part l'auteur de https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-03727617/document  me demande :
    Je vous recontacte pour vous demander si vous avez une référence où la démonstration géométrique de la propriété FI=er est démontrée ? Je pense à un livre, auteur, année de parution .. 
    C'est pour l'ajouter à ma liste bibliographique.

    Je pense qu'il faudrait lui donner la référence de la réédition gabay du LH : https://www.gabay-editeur.com/LEBOSSE-et-HEMERY-Geometrie-1961-classe-de-Mathematiques-Programmes-de-1945

  • rferreol2
    rferreol2
    Bon, j'ai trouvé l'exercice dans mon Lespinard et Pernet , exercice B 626 page 554 chapitre équation des coniques
    Pas trouvé la version hyperbole.

    Mais trouvera t on la version résolution de l'équation différentielle ON = e rho ?

  • pappus
    pappus
    Modifié (September 2022)
    Mon cher Robert
    Le Lebossé-Hémery traite simultanément les cas de l'ellipse et de l'hyperbole puis le cas de la parabole
    Amicalement
    pappus
  • jelobreuil
    jelobreuil
    Bonsoir Robert,
    Oui, c 'est exactement le même exercice. Dans mon Lespinard et Pernet (programme 1966), il figure parmi les exercices proposés à la suite du chapitre "Ellipse".
    Pour expliquer le décalage des numéros de page (plus de 200 !) entre le tien et le mien, les deux hypothèses qui me viennent à l'esprit sont que ton édition de 1962 est rassemblée en un seul volume, alors que la mienne est répartie en trois volumes : "Structures Arithmétique" (234 pages), "Analyse Cinématique" (288 pages), et "Géométrie" (414 pages), ou bien, si ton édition comporte elle aussi un volume dédié à la seule géométrie, que le programme de cette discipline a été assez grandement amputé en 66 ...
    Bien amicalement, JLB
  • rferreol2
    rferreol2
    Modifié (September 2022)
    Bonjour, je pense plutôt à la dernière option ! Déjà dans la version 62, ils s'étaient fait plaisir en conservant un chapitre "étude des coniques définies par foyer, directrice et excentricité" avec la mention "étude non au programme de math elem".
    pappus a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2384349/#Comment_2384349
    [Inutile de recopier l’avant dernier message. Un lien suffit. AD]
    En effet, merci, bien que la figure montre une ellipse.
    Je l'ai bien retrouvé dans mon édition de 1966 : 23e leçon : foyers et directrices, propriétés diverses, n° 603 page 409. Apparemment, L et H ont continué, eux, de se faire plaisir, sans mention de hors programme !
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