Droites remarquables d'un triangle et moyennes

Piteux_gore · September 2022

Bonjour,
Dans un triangle, la médiane est inférieure à la moyenne arithmétique des côtés adjacents et la bissectrice est inférieure à leur moyenne harmonique.
Y a-t-il quelque chose d'analogue pour la moyenne géométrique ?
A+

Dom · September 2022

Je ne sais pas.

Par contre, la hauteur issue du sommet de l’angle droit d’un triangle rectangle a pour longueur la moyenne géométrique des deux $morceaux$ de l’hypoténuse.
Bon, soyons précis.

Prenons un triangle $ABC$ rectangle en $A$.

On note $H$ le pied de la hauteur issue de $A$.

Alors : $HB\times HC=HA^2$, autrement dit $HA$ est la moyenne géométrique de $HB$ et $HC$.

Pour des théorèmes utilisant « plus grand/plus petit que la moyenne géométrique », on peut étudier les cas où l’angle est obtus ou aigu.

Piteux_gore · September 2022

RE
Moyennant certaine condition, dans un triangle quelconque il existe deux segments issus d'un même sommet qui sont moyennes géométriques des segments qu'ils découpent.
Et le prolongement d'un tel segment jusqu'au cercle circonscrit est égal au segment.
Si le triangle est rectangle, les deux segments sont la hauteur et la médiane issues de l'angle droit.
A+