Sous-corps et sous-anneau

@OShine : Procédons autrement en définissant $F$ comme suit:\[F=\left\{\begin{array}{c|c}(r,\,u)&(r,\,u)\in\Bbb{Q}\times{}K\text{ et }(\exists\,a) (\exists\,b)\left(a\in\Bbb{Z}\text{ et }b\in\Bbb{Z}^*\text{ et }r=\dfrac{a}{b}\text{ et }u=(a\bullet1_{K})(b\bullet1_{K})^{-1}\right)\end{array}\right\}\]Considérons également le morphisme d’anneaux $f:\Bbb{Z}\to{}K,\,z\mapsto{}z\bullet1_{K}$, où $ z\bullet1_{K}=\underbrace{1_{K}+\cdots+1_{K}}_{z\text{ terme(s) identique(s)}}$.
Nous constatons que $F$ est un ensemble de couples, sous-ensemble de $\Bbb{Q}\times{}K $, ce qui est essentiel pour obtenir une application de $\Bbb{Q}$ dans $K$. D’autre part, par définition de $F$, pour tout $(r,\,u)\in{}F$, donc en particulier pour tout $r\in\Bbb{Q}$, il existe au moins $(a,\,b)\in\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}^*$ tel que $r=\dfrac{a}{b}$ et $u=(a\bullet1_{K})(b\bullet1_{K})^{-1}$. Si $F$ est une application, elle est nécessairement définie sur $\Bbb{Q}$. Montrons que $u$ ainsi défini ne dépend que de $\dfrac{a}{b}$ (je ne veux pas te parler de classe d’équivalence et donc de représentant de ladite classe), ce qui est encore indispensable pour obtenir une application. A ce titre, soit $(r’,\,u’)\in{}F$ pour lequel il existe au moins $(c,\,d)\in\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}^*$ tel que $r’=\dfrac{c}{d}$ et $u’=(c\bullet1_{K})(d\bullet1_{K})^{-1}$. Supposons que $r=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=r’$, i.e. de manière équivalente que $ad=bc$. Comme $f$ est un morphisme d’anneaux, d’une part $(ad)\bullet1_{K}=f(ad)=f(a)f(d)=(a\bullet1_{K})(d\bullet1_{K})$, d’autre part $(bc)\bullet1_{K}=f(bc)=f(b)f(c)=(b\bullet1_{K})(c\bullet1_{K})$ ; ce qui nous donne finalement $(a\bullet1_{K})(d\bullet1_{K})=(b\bullet1_{K})(c\bullet1_{K})$, avec $ b\bullet1_{K}\ne0_{K}$ et $d\bullet1_{K}\ne0_{K}$. Ainsi obtient-t-on que $(b\bullet1_{K}) ^{-1}(a\bullet1_{K})=(c\bullet1_{K})(d\bullet1_{K})^{-1}$, soit, par commutativité de la multiplication dans $K$, $u=(a\bullet1_{K})(b\bullet1_{K}) ^{-1}=(c\bullet1_{K})(d\bullet1_{K})^{-1}=u’$, comme attendu. Ainsi avons-nous bien construit une application $F$ de $\Bbb{Q}$ dans $K$ telle que\[ F:\left\{\begin{array}{rcl}\Bbb{Q}&\longrightarrow&K\\\dfrac{a}{b}&\longmapsto&(a\bullet1_{K})(b\bullet1_{K}) ^{-1}=f(a)f(b)^{-1}\\\end{array}\right.\]
Montrons que l’application $F$ est un morphisme d’anneaux. Comme $\Bbb{Z}\subset\Bbb{Q}$, alors clairement $F(1)=F\left(\dfrac{1}{1}\right)= f(1)f(1)^{-1}=1_{K}1_{K}^{-1}=1_{K}$ (ce qui n'était pas utile de vérifier, puisque l'on a affaire à un morphisme de corps). D’autre part, pour tous $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}\in\Bbb{Q}$,\[\begin{align}F\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)&= F\left(\dfrac{ad}{bd}+\dfrac{bc}{bd}\right)\\&= F\left(\dfrac{ad+bc}{bd}\right)\\&=f(ad+bc)f(bd)^{-1}\\&=(f(a)f(d)+f(b)f(c))(f(b)f(d))^{-1}\\&=(f(a)f(d)+f(b)f(c))\left(f(d)^{-1}f(b)^{-1}\right)\\&=(f(a)f(d))\left(f(d)^{-1}f(b)^{-1}\right)+(f(b)f(c))\left(f(d)^{-1}f(b)^{-1}\right)\\&=(\cdots)\\&=f(a)f(b)^{-1}+f(c)f(d)^{-1}\\&=F\left(\dfrac{a}{b}\right)+ F\left(\dfrac{c}{d}\right)\end{align}\]Enfin, pour tous $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}\in\Bbb{Q}$,\[\begin{align}F\left(\dfrac{ac}{bd}\right)&=f(ac)f(bd)^{-1}\\&=(f(a)f(c))\left(f(d)^{-1}f(b)^{-1}\right)\\&=\left(f(a)f(b)^{-1}\right)\left(f(c)f(d)^{-1}\right)\\&=F\left(\dfrac{a}{b}\right)F\left(\dfrac{c}{d}\right)\end{align}\]

Remarque importante : il reste à démontrer que $f$ est bien un morphisme d'anneaux.