Lois de max(X,a-X) et min(X,a-X)

LeVioloniste · September 2022

Bonjour

Je veux trouver les lois de Z=max(X,a-X) et T=min(X,a-X). On a X ~ U([0,a]).
U signifie loi uniforme.

Cas1 : X>=a-X cad X>=a/2 et Z=X

Si z<=a/2 alors P(Z<z)=0
Si z dans a/2,a alors P(Z<z)=int (a/2,z, 1[0,a] (x) / a dx) = z/a - 1/2.
Le 1[] étant l'indicatrice de x sur l'intervalle 0,a.
Si z>a P(Z<z)=1.

la loi est celle de X

Dans le cas 1

Le souci est que en z=a je n'ai pas de continuité.

Où est mon erreur ?

Cas2 : X<=a-X cad X <=a/2 et Z=a-X

Ici je note X'=a-X car c'est a-X la va.

J'utilise la méthode de la fonction muette (ça doit marcher directement aussi)

E(h(X'))) = int( -inf, a/2, h(a-x) 1[0,a] (x) / a dx) = int( +inf, a/2, h(u) 1[0,a] (u) / a -du) avec le changement de variable u=a-x.

Puis E(h(X'))= int( a/2, +inf, h(u) 1[0,a] (u) / a du)

d'où la densité de X' : 1[a/2,a] (u) / a.

Puis en intégrant

P(Z<z)=0 si z<a/2

P(Z<z)=(z/a-1/2) si z dans [a/2,a]

P(Z<z)=1 si z>a.

Merci.

lourrran · September 2022

Ton intégrale ... il faut prendre le double de ce que tu prends actuellement.
Pour b donné dans [a/2, a] , Z vaut b si X vaut b, ou si x vaut a-b. Tu as oublié ce qui vient après le 'ou'.

LeVioloniste · September 2022

Lourrran j'ai modifié pendant que tu as écrit ...

Je vais réfléchir.

gerard0 · September 2022

Intuitivement, pour Z, on a replié la loi uniforme autour de a/2, on obtient la loi uniforme sur $[\frac a 2,a]$.

Cordialement.

NB : je n'ai pas lu tous les calculs, écrits ainsi c'est trop pénible.

rebellin · September 2022

Pour tous réels $x,$ $y,$ d'une part $\max(x,y)+\min(x,y)=x+y,$ d'autre part $\max(x,y)-\min(x,y)=|y-x|.$ Donc

$$Z+T=X+(a-X)=a\qquad,\qquad Z-T=|(a-X)-X|=|a-2X|.$$

Donc intuitivement (mais assez clairement, et avec un minimum de calcul) :

$$X\thicksim U([0,a])\implies -X\thicksim U([-a,0])\implies -2X\thicksim U([-2a,0])\implies a-2X\thicksim U([-a,a])\implies Z-T=|a-2X|\thicksim U([0,a]).$$

Et donc, avec la même méthode, $$Z=\frac{(Z+T)+(Z-T)}{2}=\frac{a+(Z-T)}{2}\thicksim U([a/2,a])\qquad,\qquad T=(Z+T)-Z=a-Z\thicksim U([0,a/2]).$$

LeVioloniste · September 2022

C'est beau rebellin !

Et en effet la translation sur la loi uniforme est à retenir ...

Bon je vais réécrire avec les fonctions à densité.

LeVioloniste · September 2022

D'ailleurs j'ai une question : les lois Z et T sont-elles indépendantes ?

Sans faire de calcul de probabilités.

lourrran · September 2022

les lois Z et T sont-elles indépendantes ?

D'après toi ? Tu dois bien avoir une vague idée. Si tu connais le mot 'loi indépendantes', si tu sais ce que ça veut dire... tu dois pouvoir répondre.

LeVioloniste · September 2022

Soit h une fonction continue sur $\R$. En utilisant la technique de la fonction muette;

$\mathbb{E}(h(Z))= \int_\R ~h(\max(x,a-x)).f_X(x)dx =$
$\int_{x \geq a/2} ~h(x).f_X(x)dx + \int_{x \leq a/2} ~h(a-x).f_X(x)dx$
Je note $f_X(x)=\frac{\mathbb{1}[0,a](x)}{a}$ et
$\mathbb{E}(h(Z))=\int_{a/2}^{+\infty}~h(x).\frac{\mathbb{1}[0,a](x)}{a} dx + \int_{+\infty}^{a/2}~h(u).\frac{\mathbb{1}[0,a](a-u)}{a} (-du)$, avec le changement de variable $u=a-x$ et donc
$\mathbb{E}(h(Z))= \int_\R ~h(x).\frac{\mathbb{1}[a/2,a](x)}{a} dx + \int_\R ~h(u).\frac{\mathbb{1}[a/2,a](u)}{a} du = \int_\R ~h(x).\frac{\mathbb{1}[a/2,a](x)}{a/2} dx $.

Je trouve $Z ~ U([a/2,a]).
Ok ?

Par contre en utilisant $\{Z \leq z\}=\{X \leq z\} et \{a-X \leq z\}=\{X \leq z\} \ et\ \{X \geq a-z\}= \{a-z \leq X \leq z \}$.

Ensuite on a $P(Z \leq z)=\int_{a-z}^{z} ~ \frac{\mathbb{1}[0,a](x)}{a} .dx$ peut-il aboutir ?

LeVioloniste · September 2022

Ensuite je continue sur la covariance de Z et T.

Si je connais les marginales de $f_{(Z,T)}(z,t)$ est-ce que je peux remonter à la densité conjointe ?

En fait il faut voir si les variables sont indépendantes mais je ne sais pas dire ...

Pour calculer $\mathbb{E}(ZT)$ il faut que je connaisse $f_{(Z,T)}(z,t)$.

Sinon avec la caractérisation par les probas $\mathbb{P}(Z inter T)=\mathbb{P}(Z) \mathbb{P}(T)$.

lourrran · September 2022

Relis les différents messages des uns et des autres (pas les miens, les autres). Tu as la réponse à ta dernière question.
Mais l'autre option, c'est de partir faire un jogging (je sais, ce n'est pas trop l'heure). Tu as les yeux rivés sur le truc, et tu ne vois plus rien. Tu vas courir, ou marcher, sans musique, sans rien, et en 10 minutes, tu auras plus avancé sur cet exercice qu'en une heure devant l'écran.

LeVioloniste · September 2022

Avec $Z+T=a$ on a une relation de dépendance. Ainsi les variables ne sont pas indépendantes.

Du coup la seule formule qui marche pour la covariance de Z et T est

$cov(Z,T)=\mathbb{E}((Z-\mathbb{E}(Z))(T-\mathbb{E}(T)))$.

lourrran · September 2022

Dans cette formule, tu peux remplacer $Z$ par $T-a$ , développer tout ça, et tu vas arriver à un truc tout simple.
Les 2 seules règles à connaître pour faire ces calculs, c'est que $E(A+B)=E(A)+E(B)$, et si $k$ est une constante $E(kA)=kE(A)$

JLapin · September 2022

LeVioloniste a dit :
Sinon avec la caractérisation par les probas $\mathbb{P}(Z inter T)=\mathbb{P}(Z) \mathbb{P}(T)$.

Attention : on ne fait pas d'intersection de variables aléatoires et on ne calcule pas non plus la probabilité d'une variable aléatoire car une variable aléatoire n'est pas un élément de la tribu des événements.

LeVioloniste · September 2022

Oui j'ai mal écrit ... Cela c'est pour des évènements.

Dans le cas où $Z$ et $T$ sont des va dans $\mathbb{R}$, on a pour $B_1$ et $B_2$ des boréliens de $\mathbb{R}$ on a $P(Z \in B_1 \cap T \in B_2)=P(Z \in B_1)P(Z \in B_2)$ mais cela ici n'apporte rien.

LeVioloniste · September 2022

$Cov(Z,T)=Cov(T-a,T)=Cov(T,T)=Var(T)$.
Si $R$ suit $\mathbb{U}([a,b])$ alors $Var(R)=(a-b)^2/12$.
Ici d'ailleurs $Cov(Z,T)=Var(T)=Var(Z)$ et dans les 2 cas du calcul des variances de $T$ et $Z$, $Var(T)=a^2/48$, si je compte bien.

Lois de max(X,a-X) et min(X,a-X)

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 31