Un problème avec le rang de la composition de la matrice hessienne
Bonjour,
Soit $f: V\subseteq \mathbf{R}^{n}\longrightarrow \mathbf{R}$, $f\in \mathcal{C}^{2}$, $b\in V$ un point critique de $f$. Soit $g: U\subseteq \mathbf{R}^{n} \longrightarrow V$ un difféomorphisme, $g(a)=b$ et $g\in \mathcal{C}^{2}$. Alors, ${\rm rank}\, H_{f}(b)={\rm rank}\, H_{f\circ g}(a)$?
Je suis sûr que cela ne fournit pas beaucoup d'informations, mais parmi mes travaux figurent les calculs suivants.
Puisque $g$ est un difféomorphisme, alors son rang est $n$.
Merci beaucoup d'avance.
Cordialement
Soit $f: V\subseteq \mathbf{R}^{n}\longrightarrow \mathbf{R}$, $f\in \mathcal{C}^{2}$, $b\in V$ un point critique de $f$. Soit $g: U\subseteq \mathbf{R}^{n} \longrightarrow V$ un difféomorphisme, $g(a)=b$ et $g\in \mathcal{C}^{2}$. Alors, ${\rm rank}\, H_{f}(b)={\rm rank}\, H_{f\circ g}(a)$?
Je suis sûr que cela ne fournit pas beaucoup d'informations, mais parmi mes travaux figurent les calculs suivants.
- $\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(b)=0$.
- $H_{f}(b)=J(\nabla f(b))=J(0)$.
- $H_{f\circ g}(x)=J_{g}^{\top}(x)H_{f}(x)J_{g}(x)+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)H_{ig}(x)$
Puisque $g$ est un difféomorphisme, alors son rang est $n$.
Merci beaucoup d'avance.
Cordialement
Réponses
-
Mon travail avec la fonction inverse : Si $g$ est un difféomorphisme, alors par le théorème de la fonction inverse $\nabla g: T_{x}U\longrightarrow T_{g(x)}V$ est un isomorphisme entre espaces vectoriels. Il s'ensuit que ${\rm rank}\, H_{f}(x)={\rm rank}\, H_{f\circ \nabla g}(x)$. Mais je ne vois toujours pas comment avancer à partir de là.
-
C'est une autre tentative, en calculant directement la matrice hessienne, mais je n'arrive pas à conclure.$$H_{f\circ g}=\frac{\partial g}{\partial x_{j}}\cdot \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}x_{j}}(g)\cdot \frac{\partial g}{\partial x_{i}}+\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(g)\cdot \frac{\partial^{2}g}{\partial x_{i}\partial x_{j}}=J_{g}^{T}\cdot H_{f}\cdot J_{g}+J_{f}\cdot H_{g}$$Si $x=a$, alors $g(a)=b$, $$H_{f\circ g}(a)=J_{g}^{\top}(a)\cdot H_{f}(b)\cdot J_{g}(a)+J_{f}(b)\cdot H_{g}(a)=J_{g}^{\top}(a)\cdot H_{f}(b)\cdot J_{g}(a)$$
-
BonjourComme $g$ est un difféomorphisme, $J_g(a) $ est inversible, donc les deux hessiennnes sont congruentes. Vous avez suffisamment de régularité (lemme de Schwarz, $f,g$ de classe $C^2$) pour que ces $H$ soient symétriques. Et comme deux matrices symétriques congruentes ont même signature, elles ont même rang.
-
Merci beaucoup @Lars , de cette façon je peux conclure en utilisant ma deuxième approche par le calcul du Hessian. Cependant, je me demande encore : en utilisant le théorème de la fonction inverse de la manière dont je l'ai mentionné dans mes précédents posts, est-il possible de formaliser également une preuve ?
Cordialement -
Bonjour
Je n'ai compris ni vos calculs, ni vos notations (f rond gradient de g par ex, aucune précision sur U et V : ouverts ou variétés,...), donc je ne sais pas vous répondre. -
evariste21 a dit :en utilisant le théorème de la fonction inverse de la manière dont je l'ai mentionné dans mes précédents posts, est-il possible de formaliser également une preuve ?Donc la réponse est non.Mais bon, la méthode qui consiste à connaitre la hessienne d'une composée (ou à la retrouver par le calcul du DL à l'ordre 2 adéquat) est assez simple à mettre en place. Par ailleurs, tu n'as pas besoin de connaitre de résultats sur la signature pour conclure : il te suffit de savoir qu'on ne change pas le rang en multipliant à gauche ou à droite par une matrice inversible.
-
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres