Un problème avec le rang de la composition de la matrice hessienne

evariste21 · September 2022

Bonjour,

Soit $f: V\subseteq \mathbf{R}^{n}\longrightarrow \mathbf{R}$, $f\in \mathcal{C}^{2}$, $b\in V$ un point critique de $f$. Soit $g: U\subseteq \mathbf{R}^{n} \longrightarrow V$ un difféomorphisme, $g(a)=b$ et $g\in \mathcal{C}^{2}$. Alors, ${\rm rank}\, H_{f}(b)={\rm rank}\, H_{f\circ g}(a)$?

Je suis sûr que cela ne fournit pas beaucoup d'informations, mais parmi mes travaux figurent les calculs suivants.

$\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(b)=0$.
$H_{f}(b)=J(\nabla f(b))=J(0)$.
$H_{f\circ g}(x)=J_{g}^{\top}(x)H_{f}(x)J_{g}(x)+\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}(x)H_{ig}(x)$

J'essayais aussi de travailler avec l'idée de rang et le théorème de la fonction inverse.
Puisque $g$ est un difféomorphisme, alors son rang est $n$.
Merci beaucoup d'avance.
Cordialement

evariste21 · September 2022

Mon travail avec la fonction inverse : Si $g$ est un difféomorphisme, alors par le théorème de la fonction inverse $\nabla g: T_{x}U\longrightarrow T_{g(x)}V$ est un isomorphisme entre espaces vectoriels. Il s'ensuit que ${\rm rank}\, H_{f}(x)={\rm rank}\, H_{f\circ \nabla g}(x)$. Mais je ne vois toujours pas comment avancer à partir de là.

evariste21 · September 2022

C'est une autre tentative, en calculant directement la matrice hessienne, mais je n'arrive pas à conclure.

$$H_{f\circ g}=\frac{\partial g}{\partial x_{j}}\cdot \frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}x_{j}}(g)\cdot \frac{\partial g}{\partial x_{i}}+\frac{\partial f}{\partial x_{j}}(g)\cdot \frac{\partial^{2}g}{\partial x_{i}\partial x_{j}}=J_{g}^{T}\cdot H_{f}\cdot J_{g}+J_{f}\cdot H_{g}$$

Si $x=a$, alors $g(a)=b$, $$H_{f\circ g}(a)=J_{g}^{\top}(a)\cdot H_{f}(b)\cdot J_{g}(a)+J_{f}(b)\cdot H_{g}(a)=J_{g}^{\top}(a)\cdot H_{f}(b)\cdot J_{g}(a)$$

Lars · September 2022

Bonjour

Comme $g$ est un difféomorphisme, $J_g(a) $ est inversible, donc les deux hessiennnes sont congruentes. Vous avez suffisamment de régularité (lemme de Schwarz, $f,g$ de classe $C^2$) pour que ces $H$ soient symétriques. Et comme deux matrices symétriques congruentes ont même signature, elles ont même rang.

evariste21 · September 2022

Merci beaucoup @Lars , de cette façon je peux conclure en utilisant ma deuxième approche par le calcul du Hessian. Cependant, je me demande encore : en utilisant le théorème de la fonction inverse de la manière dont je l'ai mentionné dans mes précédents posts, est-il possible de formaliser également une preuve ?

Cordialement

Lars · September 2022

Bonjour
Je n'ai compris ni vos calculs, ni vos notations (f rond gradient de g par ex, aucune précision sur U et V : ouverts ou variétés,...), donc je ne sais pas vous répondre.

JLapin · September 2022

evariste21 a dit :

en utilisant le théorème de la fonction inverse de la manière dont je l'ai mentionné dans mes précédents posts, est-il possible de formaliser également une preuve ?

Contrairement à l'application $f\circ g$, ta composée de $f$ définie sur $U$ avec la différentielle de g n'a aucun sens à cause des domaines de départs et d'arrivées respectifs...

Donc la réponse est non.

Mais bon, la méthode qui consiste à connaitre la hessienne d'une composée (ou à la retrouver par le calcul du DL à l'ordre 2 adéquat) est assez simple à mettre en place. Par ailleurs, tu n'as pas besoin de connaitre de résultats sur la signature pour conclure : il te suffit de savoir qu'on ne change pas le rang en multipliant à gauche ou à droite par une matrice inversible.

evariste21 · September 2022

Merci beaucoup @Lars et @JLapin . $U$ et $V$ étaient des ensembles ouverts, j'aurais dû le mentionner. Merci beaucoup pour vos commentaires, maintenant je comprends tout plus clairement.

Un problème avec le rang de la composition de la matrice hessienne

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