Une certaine limite et une certaine courbe pour une certaine droite
Dans un fil précédent (rubrique géométrie) on me demandait "à quoi ça sert? En quoi c'est intéressant?"
J'avais répondu que je ne suis pas marchand de tapis
Cependant est-ce que cette figure répond à sa question?
Bien entendu cette courbe fermée dont l'unique point de rebroussement est aligné sur le centre de Gravité et le point de Gergonne n'a pas été construite n'importe comment et n'a pas non plus été construite à partir de la droite portant ces trois points
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Réponses
La distance la plus grande étant sur la demi-droite opposée
La courbe est uniquement définie par la valeur de cette limite en prenant la demi droite considérée
Cette image est trompeuse car le point de la courbe le plus près de $G$ n'est pas confondu avec $G$ (voir l'image précédente où on voit bien cela)
où $\left(g,h\right)$ sont les coordonnées cartésiennes du centre de gravité $G$ du triangle $ABC$
Alors $\left(g+t\left(x\right).cos\left(x\right),h+t\left(x\right).sin\left(x\right)\right)$ sont les coordonnées cartésiennes des points de cette courbe
Le point de cette courbe situé le plus près de $G$ (dans l'image il a l'air d'être confondu avec $G$ mais ce n'est pas le cas comme par exemple dans l'image précédente on voit bien qu'il est distinct de $G$ car $t\left(x\right)$ n'est pas nul) donc ce point est aligné avec le centre de gravité et le point de Gergonne
La démonstration restant à faire étant celle qui stipule que le point de la courbe le plus proche de $G$ est aligné avec $G$ et $X(7)$
puisque dans ce contexte-là $\vec {z}=\vec {AB}+\vec {BC}+\vec {CA}=\vec {0}$ est nul
Reste à démontrer le cas non équilatéral (la courbe n'est pas un cercle) où on stipule $G$ et $X_7$ et le point (de la courbe) le plus près de $G$ et le point (de la courbe) le plus éloigné de $G$ sont alignés
ceci dit c'est inutile que je vous le dise vu que de toute façon vous en avez strictement rien à foutre.
Vous avez même l'équation de la courbe et la signification de la distance d'un point de cette courbe au centre de gravité du triangle
Vous voulez quoi ?
Vous voyez les figures plus haut ce ne sont pas des cercles
et vous voyez
$M=G+3.\left(1+\dfrac {\vec z\bullet \vec {j}}{duvw}\right).\vec {i}$
$\vec {j} $ est le deuxième vecteur d'une base orthonormée directe
Le produit scalaire avec $\vec {z} $ ne sera pas toujours le même en faisant varier $\vec {j}$
Pour démentir Pappus je ne suis pas un troll (un troll reste toujours à moins qu'on l'y force)
Comme ça tout le monde est content (et c'est ce qui compte dans la vie: que tout le monde le soit)
Le point de Gergonne n'est pas situé sur la droite dont j'ai parlé (j'ai vérifié)
Cette droite est celle dont un vecteur directeur est orthogonal à $\vec {z}$
Bon tchao (à une autre vie)