Inverse de fonctions jeudi 22 septembre
Réponses
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Pour 2), on trouve $1/2\,\sqrt {2}{\frac {1}{\sqrt {{y}^{-2} \left( {\it LambertW} \left(
2\,{y}^{-2} \right) \right) ^{-1}}}}$Pour 1), je doute que ce soit faisable.
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Pour 1) j'ai trouvé une équation différentielle, mais je me suis peut-être trompé dans les calculs.$f(x)=x-\ln(\ln(x))$$f'(x)=1 - \dfrac{1}{x \ln(x)}$$[f^{-1}(x)]'=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}=\dfrac{1}{1 - \frac{1}{f^{-1}(x)\ln(f^{-1}(x)}}$On pose : $f^{-1}=y$$y'=\dfrac{1}{1 - \frac{1}{y \ln(y)}}$$y'=\dfrac{y \ln(y)}{y \ln(y)-1}$
Soit : $y \ln(y)=\dfrac{y'}{y'-1}$* à résoudre.
*équivalent à :
$\dfrac{1}{y'}=1-\dfrac{1}{y\ \ln(y)}$ ou
$\dfrac{1}{y}=\ln(y)\ (1-\dfrac{1}{y'})$ -
Et avec la réversion de Lagrange pour le 1/ ?
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Bonjour
Ok, juste pour donner l'idée générale, tu vois quoi comme piste ? -
Pour le 1), la formule de réversion de Lagrange pourrait à la rigueur s'appliquer à $t\mapsto f\big(\exp(\exp t)\big)$ et cela donnerait une formule un peu compliquée faisant intervenir les nombres de Bell.
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Bonjour!
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