Spectre

mathspe · September 2022

Bonjour
Soit $H_\lambda=-\frac{d^2}{dx^2}+\lambda^2 x^2$ avec $\lambda>0$. Il est connu que son spectre est $\{(2n-1)\lambda,n\in \Bbb N^*\}$.

Posons$(U_\mu \phi)(x)= e^{\mu\over 2}\phi (e^{\mu}x)\mu \in \Bbb R$. Il est facile de voir que $\{U_\mu,\mu\in\Bbb R\}$ forme un groupe à un paramètre de plus $$U_\mu H_1 U^{-1}_\mu = e^{-2\mu}\big( -\frac{d^2}{dx^2}+ e^{4\mu}x^2 \big) ,\mu\in\Bbb R $$

que l'on peut prolonger analytiquement pour tout $\mu\in \Bbb C$. Donc si $\lambda,\mu\in\Bbb C$, on a

$$U_\mu (H_1-\lambda) U^{-1}_\mu = e^{-2\mu}\big( -\frac{d^2}{dx^2}+ e^{4\mu}x^2-\lambda e^{2\mu}\big).$$

Donc le spectre de l'opérateur $-\frac{d^2}{dx^2}+ e^{4\mu}x^2,\mu\in \Bbb C$ est $\{(2n-1)e^{2\mu},n\in \Bbb N^*\}$.
Est-ceci est correct. Merci infiniment