Calcul d'une dérivée (au sens des distributions)

Question12 · September 2022

$\newcommand{\sgn}{\mathrm{sgn}}$Bonjour
Considérons $u : (x, y) \in \mathbb{R}^{2}- \{ (0; 0)\} \mapsto |xy|\log(|x| + |y|)$. Cette application $L^{1}_{loc}$ définit une distribution. J'essaie de calculer

$\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$. Pour rappel, $(x, y) \mapsto |x|$ a pour dérivée faible (selon $x$) $(x, y) \mapsto \sgn(x)$ (l'application signe). Et la dérivée (par rapport à $x$ ) de cette application signe est la distribution $\delta_{x}$ qui à $\phi$ lisse à support compact associe $\int_{y \in \mathbb{R}}\phi(0, y)dy$ ("la fonctionnelle d’intégration sur l'hyperplan $\{x = 0\}$").

Naïvement, je calcule avec Leibniz $\frac{\partial u}{\partial x} = \sgn(x)|y|\log(|x| + |y|) + |xy| \frac{\sgn(x)}{|x| + |y|}$ et ensuite $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \delta_{x}|y|\log(|x| + |y|) + |y| \frac{2}{|x| + |y|} + |xy| \frac{\delta_{x}|x| + \delta_{x}|y| - 1}{(|x| + |y|)^{2}}$. Mais je n'arrive pas à le justifier proprement (je pense d'ailleurs que c'est faux).

Peut-on calculer cette dérivée sans retourner à la définition et sans utiliser la formule de Green ? Je débute avec les distributions et je peine surtout avec les exemples concrets.

Merci d'avance pour votre aide.

Bibix · September 2022

Bonjour,
Je pense qu'il suffit d'appliquer la formule des sauts. Par exemple, l'application signe a un saut de $2$ en $0$, donc sa dérivée est $2 \delta_0$.

Question12 · September 2022

Bonjour et merci de ta réponse Bibix.

Soit $\phi$ une application lisse à support compact. J'ai

$(1) \int_{\mathbb{R^{2}}}\frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}} f dx dy=
\int_{\mathbb{R}} (\int_{\mathbb{R}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}} fdx dy$. Il me suffit donc de fixer $y_{0} \neq 0$ et de calculer $(\int_{\mathbb{R}} \frac{\partial^{2} \phi}{\partial x^{2}}(x, y_{0}) f(x, y_{0})dx)$. Les sauts sont nuls à l'ordre $1$. Cette intégrale vaut donc par la formule des sauts $\int_{\mathbb{R}}|y_{0}| \frac{2}{|x| + |y_{0}|} + |xy| \frac{- 1}{(|x| + |y_{0}|)^{2}}\phi(x, y_{0})dx + 2|y_{0}|log(|y_{0}|)\phi(0 , y_{0})$.

En ré-injectant dans $(1)$, cela fonctionne. Merci Bibix.

Calcul d'une dérivée (au sens des distributions)

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