Opérateur différence, endomorphismes sur R[X]
Bonjour
Je bloque sur cet exercice (niveau MP).
Je bloque sur cet exercice (niveau MP).
Soit $E=\mathbb{R}[X]$. Soit $\Delta(P)=P(X+1)-P(X)$. Soit $f$ un endomorphisme sur $E$ commutant avec $\Delta$.
Montrer qu'il existe une suite de réels $(u_n)$ vérifiant $\ \displaystyle f=\sum_{n=0}^{\infty}u_n\Delta^n.$
Montrer qu'il existe une suite de réels $(u_n)$ vérifiant $\ \displaystyle f=\sum_{n=0}^{\infty}u_n\Delta^n.$
Pour l'instant, j'ai abouti à voir que $\Delta(P)$ est de degré $\deg(P)-1$, en écrivant la commutativité appliquée à $X^p$ pour $p\in \mathbb{N}$ j'obtiens que les $\mathbb{R}_{n}[X]$ sont stables par $f$.
J'ai essayé de montrer l'égalité sur une base de $\mathbb{R}_n[X]$, en prenant la base canonique ou les polynômes de forme $X(X-1)\ldots(X-n+1)$. Connaissant le noyau de $\Delta$ on peut se ramener à une somme finie en évaluant ainsi, mais mes calculs de donnent rien.
J'espère que quelqu'un pourra me débloquer, merci d'avance !
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Réponses
$$[\Delta, f] = \left(\sum_{n\geq 0}(\Delta p_n) \Delta^n\right)\circ E$$
Comme $E$ est bijectif, ça donne $[\Delta, f]=0$ si et seulement si pour tout $n$, $\Delta p_n=0$ (c'est-à-dire $p_n$ est de degré $0$).
Comme on a (avec les notations de i.zitoussi) $\Delta=\exp(D)-I$ et que l'on veut écrire que $D=\ln(I+\Delta)$, sachant que ces endomorphismes induisent sur $\R_n[X]$ des nilpotents, il suffit de montrer, en posant $P_n=1+X+X^2/2+\cdots+X^n/n!$ et $Q_n=X-X^2/2+\cdots+(-1)^{n-1}X^n/n$, que $P_n\circ Q_n$ et $Q_n\circ P_n$ sont égaux à $X$ modulo $X^{n+1}$ (pour tout $n$).
Or, cela se déduit de la composition des DL correspondants, vu que, à ${\rm O}(X^{n+1})$, il correspond $X^{n+1}$ que multiplie un certain polynôme (principe que l'on établit sans mal).
(Nota bene.) Certes, vous allez me dire que, sur $\R$, toute série formelle est un développement de Taylor formel, mais il est tout de même plus confortable de connaître la fonction dont il est la série génératrice, surtout si, comme ici, il s'agit d'en utiliser la fonction réciproque.