Sous-corps et sous-anneau
Bonsoir
Dans la première image, si $A$ est un sous-anneau de $K$ on a forcément $A \subset K$ par définition non ? Je ne comprends pas l'intérêt de cette phrase.
Pour la deuxième image, tous les points encadrés me posent problème. Je ne comprends rien au $\bullet$ je ne différencie pas le $ab$ du $a \bullet 1$.
Dans la première image, si $A$ est un sous-anneau de $K$ on a forcément $A \subset K$ par définition non ? Je ne comprends pas l'intérêt de cette phrase.
Pour la deuxième image, tous les points encadrés me posent problème. Je ne comprends rien au $\bullet$ je ne différencie pas le $ab$ du $a \bullet 1$.
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Réponses
La seule explication logique que je vois, ce serait celle-ci (mais j'ai cherché uniquement 14 secondes, en cherchant plus longtemps, on peut éventuellement trouver autre chose) :
On parle d'un corps $K$. Ce corps a un élément neutre pour la multiplication qu'on note $1$
Dans ce contexte, $1$ n'est pas un élément de $\mathbb{Z}$ ni de $\mathbb{R}$ mais un élément de $K$
La notation $k \bullet u$ représente la multiplication entre un entier $k$ et un élément $u$ de $K$
La notation $ab$ représente la multiplication entre 2 entiers.
Si on prend $x,y \in K$ on écrit $xy$ pour le produit mais si je prends $1_K +1_K = 2 \bullet 1_K$ je le note différemment.
Par contre, je ne comprends pas pourquoi dans la preuve $\dfrac{ a \bullet 1}{b \bullet 1}$ est dans $K$.
Fais confiance à ton bouquin. Essaie de comprendre ce que représente $\dfrac{ a \bullet 1}{b \bullet 1} $, et qui serait cohérent avec le fait que c'est un élément de $K$ ... et tu vas trouver.
Si tu ne trouves pas, vas dormir, Et demain matin tu te diras : 'Mais c'est bien sûr'.
Et si tu trouves, vas dormir aussi.
Normalement, en cherchant 10 secondes, tu aurais dû trouver. Moi, j'ai trouvé en 1 seconde.
Je n'ai jamais vu de truc aussi bizarre avec les anneaux et corps.
@usine
Rien compris.
$a \bullet 1 = 1 + \cdots +1 $ ($a$ fois).
Pour le deuxième encadré tu as $\dfrac{ a \bullet 1}{b \bullet 1}$ qui peux s'écrire comme $(a \bullet 1)(b \bullet 1)^{-1}$. C'est un élément de $K$ car $a \bullet 1$ est dans $K$ (on additionne $a$ copies de $1_K$), $b \bullet 1$ est dans $K$ aussi donc l'inverse $(b \bullet 1)^{-1}$ aussi et le produit $(a \bullet 1)(b \bullet 1)^{-1}$ aussi.
Alors $K'$ est inclus dans $A$.
Donc pour tout $x \in A \ x 1_A =x \in K'$ donc $A \subset K'$.
Je ne comprends pas ce que signifie de faire le quotient d'éléments d'un corps. La loi division n'existe pas dans un anneau.
Donc d'où sort le $\dfrac{a \bullet 1}{b \bullet 1}=(a \bullet 1)(b \bullet 1)^{-1}$ ?
Tu appelles ça division, ou multiplication par l'inverse, comme tu veux.
Ils ont été sympas, pour représenter cette opération, ils ont repris le même symbole que la division dans les corps classiques ( $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).
Au fait, la soustraction, ça existe dans un corps ? D'après la définition d'un corps, on ne parle que de 2 lois (addition et multiplication). Je te trouve moins pointilleux sur la soustraction que sur la division.
Tu n'as rien compris au message de usine ?
C'est bien. Si tu avais compris, il fallait définitivement arrêter les maths.
La seule chose à comprendre était que usine est à peu près dans le même état que toi. Inopérant.
Et ben, tout ça pour dire qu'un corps est un machin dans lequel on peut diviser, vu que tout élément non nul possède un inverse !!
Toutes les divisions ne sont pas euclidiennes.
Cordialement,
Rescassol
Dans un corps tout élément non nul est inversible d'où l'existence de la division comme avant l'algèbre (non euclidienne pour le coup).
@OShine : Procédons autrement en définissant $F$ comme suit:\[F=\left\{\begin{array}{c|c}(r,\,u)&(r,\,u)\in\Bbb{Q}\times{}K\text{ et }(\exists\,a) (\exists\,b)\left(a\in\Bbb{Z}\text{ et }b\in\Bbb{Z}^*\text{ et }r=\dfrac{a}{b}\text{ et }u=(a\bullet1_{K})(b\bullet1_{K})^{-1}\right)\end{array}\right\}\]Considérons également le morphisme d’anneaux $f:\Bbb{Z}\to{}K,\,z\mapsto{}z\bullet1_{K}$, où $ z\bullet1_{K}=\underbrace{1_{K}+\cdots+1_{K}}_{z\text{ terme(s) identique(s)}}$.
Nous constatons que $F$ est un ensemble de couples, sous-ensemble de $\Bbb{Q}\times{}K $, ce qui est essentiel pour obtenir une application de $\Bbb{Q}$ dans $K$. D’autre part, par définition de $F$, pour tout $(r,\,u)\in{}F$, donc en particulier pour tout $r\in\Bbb{Q}$, il existe au moins $(a,\,b)\in\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}^*$ tel que $r=\dfrac{a}{b}$ et $u=(a\bullet1_{K})(b\bullet1_{K})^{-1}$. Si $F$ est une application, elle est nécessairement définie sur $\Bbb{Q}$. Montrons que $u$ ainsi défini ne dépend que de $\dfrac{a}{b}$ (je ne veux pas te parler de classe d’équivalence et donc de représentant de ladite classe), ce qui est encore indispensable pour obtenir une application. A ce titre, soit $(r’,\,u’)\in{}F$ pour lequel il existe au moins $(c,\,d)\in\Bbb{Z}\times\Bbb{Z}^*$ tel que $r’=\dfrac{c}{d}$ et $u’=(c\bullet1_{K})(d\bullet1_{K})^{-1}$. Supposons que $r=\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=r’$, i.e. de manière équivalente que $ad=bc$. Comme $f$ est un morphisme d’anneaux, d’une part $(ad)\bullet1_{K}=f(ad)=f(a)f(d)=(a\bullet1_{K})(d\bullet1_{K})$, d’autre part $(bc)\bullet1_{K}=f(bc)=f(b)f(c)=(b\bullet1_{K})(c\bullet1_{K})$ ; ce qui nous donne finalement $(a\bullet1_{K})(d\bullet1_{K})=(b\bullet1_{K})(c\bullet1_{K})$, avec $ b\bullet1_{K}\ne0_{K}$ et $d\bullet1_{K}\ne0_{K}$. Ainsi obtient-t-on que $(b\bullet1_{K}) ^{-1}(a\bullet1_{K})=(c\bullet1_{K})(d\bullet1_{K})^{-1}$, soit, par commutativité de la multiplication dans $K$, $u=(a\bullet1_{K})(b\bullet1_{K}) ^{-1}=(c\bullet1_{K})(d\bullet1_{K})^{-1}=u’$, comme attendu. Ainsi avons-nous bien construit une application $F$ de $\Bbb{Q}$ dans $K$ telle que\[ F:\left\{\begin{array}{rcl}\Bbb{Q}&\longrightarrow&K\\\dfrac{a}{b}&\longmapsto&(a\bullet1_{K})(b\bullet1_{K}) ^{-1}=f(a)f(b)^{-1}\\\end{array}\right.\]
Montrons que l’application $F$ est un morphisme d’anneaux. Comme $\Bbb{Z}\subset\Bbb{Q}$, alors clairement $F(1)=F\left(\dfrac{1}{1}\right)= f(1)f(1)^{-1}=1_{K}1_{K}^{-1}=1_{K}$ (ce qui n'était pas utile de vérifier, puisque l'on a affaire à un morphisme de corps). D’autre part, pour tous $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}\in\Bbb{Q}$,\[\begin{align}F\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right)&= F\left(\dfrac{ad}{bd}+\dfrac{bc}{bd}\right)\\&= F\left(\dfrac{ad+bc}{bd}\right)\\&=f(ad+bc)f(bd)^{-1}\\&=(f(a)f(d)+f(b)f(c))(f(b)f(d))^{-1}\\&=(f(a)f(d)+f(b)f(c))\left(f(d)^{-1}f(b)^{-1}\right)\\&=(f(a)f(d))\left(f(d)^{-1}f(b)^{-1}\right)+(f(b)f(c))\left(f(d)^{-1}f(b)^{-1}\right)\\&=(\cdots)\\&=f(a)f(b)^{-1}+f(c)f(d)^{-1}\\&=F\left(\dfrac{a}{b}\right)+ F\left(\dfrac{c}{d}\right)\end{align}\]Enfin, pour tous $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}\in\Bbb{Q}$,\[\begin{align}F\left(\dfrac{ac}{bd}\right)&=f(ac)f(bd)^{-1}\\&=(f(a)f(c))\left(f(d)^{-1}f(b)^{-1}\right)\\&=\left(f(a)f(b)^{-1}\right)\left(f(c)f(d)^{-1}\right)\\&=F\left(\dfrac{a}{b}\right)F\left(\dfrac{c}{d}\right)\end{align}\]
Remarque importante : il reste à démontrer que $f$ est bien un morphisme d'anneaux.
@Thierry Poma merci ! Ta rédaction est parfaite.
Montrons que $f$ est un morphisme d'anneaux. C'est trivial.
On a $f(1)=1 \bullet 1_K = 1_K$.
Soient $z,z' \in \Z$. On a $f(z+z')=(z+z') \bullet 1_K = ( z \bullet 1_K) +(z' \bullet 1_K)$ et $f(z z')= ( z z' \bullet 1_K)= ( z \bullet 1_K) ( z' \bullet 1_K)$
Il fallait remarquer que $\boxed{((bd) \bullet 1_K)^{-1} = (d^{-1} b^{-1} ) \bullet 1_K}$.
Par contre je n'ai pas compris la fin pourquoi $K'$ est un sous-corps de $K$.
On utilise que $\Q$ est un corps et l'isomorphisme préserve la structure de corps ?
L'image d'un anneau par un morphisme est un anneau donc $F(Q)$ est un sous-anneau de $K$.
Tout élément non nul de $F(\Q)$ par exemple $( a \bullet 1) (b \bullet 1)^{-1}$ admet un inverse qui est $(b \bullet 1) (a^{-1} \bullet 1)$.
En effet si $a,b$ sont des éléments de $\Q$ non nuls ils admettent un inverse dans $\Q$ ce dernier étant un corps.
Je me suis embrouillé, je n'ai pas trop compris ce point avec les inverses.
Donc $F(a/b+ c/d) = (ad \bullet 1) + (bc) \bullet 1) ( (bd) \bullet 1)^{-1} $
Je n'ai pas compris ce qu'on fait avec $( (bd) \bullet 1)^{-1} $ comment on le simplifie ?
$(\mathbb Z,+,[opposé],0)$ est le groupe libre de base $\{ 1\}$ et $f$ étant un morphisme d'anneaux, $f$ est un morphisme de groupes, $A$ étant l'image de $f$, $A$ est l'ensemble des interprétations des termes clos sur le langage $\{ +,[opposé],0\}$ dont l'unique paramètre est 1.
Or $1$ est dans tout sous-anneau de K et tout sous-anneau de $K$ est aussi une sous-structure de $(K,+,[opposé],0)$ donc les éléments de $A$ sont aussi dans tout sous-anneau de $K$.
Explication avec un grain de sel de théorie des modèles.
Car $(a \bullet 1)(d \bullet 1)=(\underbrace{1+...+1}_{(a \text{ exemplaires})})(\underbrace{1+...+1}_{(d \text{ exemplaires})})=\underbrace{1+...+1}_{(ad \text{ exemplaires})}=(ad \bullet 1)$. C'est pour ça entre autre que le $f:\Z\to K$ de la démonstration de ton cours est un morphisme...
Le $f(bd)^{-1}= f(d)^{-1} f(b)^{-1}$ me pose problème.
Un corps est commutatif par défaut (aujourd'hui), mais ce n'est pas la cas d'un anneau.
Ne serait ce que l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel.
Cordialement,
Rescassol