Morphismes de $\Z[\frac{1}{2}]$ dans $U(1)$

Bonjour,

Sauf erreur, le groupe additif de $\mathbb Z[1/2]$ est la limite inductive de $$\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow\ldots\;,$$

donc $\mathrm Hom(\mathbb Z[1/2],U(1))$ est la limite projective de

$$\ldots\stackrel{(\ )^2}\longrightarrow U(1)\stackrel{(\ )^2}\longrightarrow U(1)\stackrel{(\ )^2}\longrightarrow U(1)\;,$$

soit encore

$$\ldots\stackrel2\longrightarrow \mathbb R/\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow \mathbb R/\mathbb Z\stackrel2\longrightarrow \mathbb R/\mathbb Z\;.$$

Ici j'ai $\mathrm{Hom}(\varinjlim\mathbb Z, U(1))\simeq \varprojlim\mathrm{Hom}(\mathbb Z, U(1))\simeq \varprojlim U(1)$ où les morphismes de transition sont l'élévation au carré.

C'est aussi $\varprojlim \mathbb R/2^n \mathbb Z$

Bonjour Marco,

Merci de m'avoir fait découvrir une espèce rare de groupes dont je ne me souviens pas avoir croisé la route..

Cela m'a conduit, en l'absence de connaissances théoriques,  à en expliciter la loi et retrouver, me semble-t-il, ce qui a été dit par Gabuzomeu.

$\mathbb U$ désigne le groupe multiplicatif des nombres complexes de module $1$, isomorphe à $\left ( \R/\Z, + \right).$

Soit  $(G ,\times)$ le groupe défini par $G= \left\{u\in  \mathbb U^{\N}\mid \forall n \in \N, \: u_{n+1}^2 = u_n \right \}, \quad \forall u,v \in G, \:\: \forall n \in \N, \:\: (u\times v)_n = u_nv_n.$

Alors, $\:G \simeq\text{Hom} \left( \Z[\frac12], \mathbb U\right ),$ via l'isomorphisme $\theta : \:\:u \longmapsto \theta_u \: $ où $\:\theta_ u:   \left\{\begin{array}{ccc} \Z\left[ \frac 12 \right] & \overset{\theta_u}{\longrightarrow }& \mathbb U \\ x = \dfrac a{2^n} \: (a\in \Z, n \in \N) &\longmapsto &\theta_u(x)=  u_n^{a} \end{array}\right .$

($ \theta_ u (x)$ ne dépend pas de l'écriture $x=\dfrac a{2^n}$)

Cela permet, entre autres choses, de voir qu'en effet $G$ ne possède pas d'éléments d'ordre $2$, ou que, pour tout entier $n$ impair et tout $x$ dans $G$, il existe une infinité d'éléments $y$ de $G$ tels que $x=y^n.$

Bonjour,

Voici une construction des isomorphismes évoqués par Marco et Pea.  $\quad \forall n \in \N, \:\: \omega_{2^n} := \exp\left(\frac {2\mathrm i \pi}{2^n}\right).$

Soit  $u \in\Z_2: \:\:u =( u_n)_{n\in \N^*}, \:\: u_n \in \Z/2^n \Z, \: \: u_{n+1}\equiv u_n \mod 2^n .\quad$ Alors $\: \omega_{2^n} ^{u_n}\:$ est un élément parfaitement défini de $\mathbb U.$

 On a  l'isomorphisme $\theta:\left\{\begin{array}{ccc} \Z_2& \longrightarrow & \text{Hom } \left( \Z\left[ \frac 12 \right] /\Z, \mathbb U\right ) \\u&\longmapsto & \theta_u\end{array}\right.$ avec $ \:\:\theta_u: \left\{ \begin{array}{ccc} \Z\left[ \frac 12 \right] /\Z &\longrightarrow & \mathbb U \\ x=\overline {\left( \frac a{2^n }\right) } \:(a\in \Z) &\longmapsto &( \omega_{2^n})^{au_n} \end{array}\right.$

Soit $\varphi: \left \{\begin{array} {ccc}\R \times \Z_2 & \longrightarrow & G \\ (\alpha , u) &\longmapsto & \left( \mathrm e^{2\mathrm i \pi \alpha / 2^n} \omega_{2^n} ^{-u_n}\right) _{n\in \N}\end{array}\right.\quad$ (avec la convention $u_0 =0$)

Alors $\varphi $ est surjectif et $\ker \varphi = \{ (k,k) \mid k\in \Z \}: = D, \quad G \simeq (\R\times \Z_2) / D.$