Formule plus générale que la formule de Hurwitz
Prenons les trois fonctions, zêta de Reimann, zêta de Hurwitz ($a\in\mathbb{}R$) et zêta associée à une fonction $f$ ($f$ est analytique en $0$) :
\[\zeta(z) = \frac{1}{\Gamma(z)} \int_{0}^{+\infty} t^{z-2}\frac{t}{e^t-1} dt.\]
\[\zeta(z,a) = \frac{1}{\Gamma(z)} \int_{0}^{+\infty} t^{z-2}\frac{te^{(1-a)t}}{e^t-1} dt.\]
\[\zeta(z,f) := \frac{1}{\Gamma(z)} \int_{0}^{+\infty} t^{z-2}f(t) dt.\]
$\ \bullet \zeta(z)$ possède une équation fonctionnelle.
$\ \bullet \zeta(z,a)$ possède une formule appelée Formule de Hurwitz et qui généralise l'équation fonctionnelle de $\zeta(z)$.
$\
\bullet \zeta(z,f)$ possède une formule que j'appelle Formule de
$\zeta(z,f)$ et qui généralise la formule de Hurwitz et l'équation
fonctionnelle de $\zeta(z)$.
L'article (plus de
20 pages) est près à être publié mais comme je ne suis pas connecté à aucune université j'aurai des difficultés à le stocker sur arxiv.org.
Pour le publier dans un journal ça prendra encore beaucoup plus de temps.
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Réponses
je te signale une petite erreur dans l'expression de Hurwitz :
sous le signe intégral du second membre l'exponentielle concerne le binôme (1-a)t et non simplement 1 - a
cela dit ton travail semble tout-à-fait prometteur et j'espère qu'il trouvera le meilleur accueil ici-même
et dans d'autres cercles mathématiques.
Bonne journée
Cordialement
J'ai été approuvé ce matin pour soumettre l'article sur arXiv.