Série avec fonction de von Mangoldt
Bonjour
Je suis en train de faire l'exercice 12 du chapitre 1 du livre Analyse mathématique, grands théorèmes du vingtième siècle (Choimet-Queffélec). Je bloque sur le début de la question c) : Montrer que $\sum u_n$ converge vers $-2\gamma.$ Pour information (indication), le chapitre est consacré aux théorèmes Taubériens. Voici l'énoncé.
Je suis en train de faire l'exercice 12 du chapitre 1 du livre Analyse mathématique, grands théorèmes du vingtième siècle (Choimet-Queffélec). Je bloque sur le début de la question c) : Montrer que $\sum u_n$ converge vers $-2\gamma.$ Pour information (indication), le chapitre est consacré aux théorèmes Taubériens. Voici l'énoncé.
On note $\Lambda$ la fonction de von Mangoldt, $d(n)$ le nombre de diviseurs de l'entier $n\geq 1,$ et on pose $u_n=\frac{\Lambda(n)-1}{n}$ On pose également $$f(x)=(1-x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}u_n\frac{nx^n}{1-x^n},\text{ pour }|x|<1.$$a) Montrer que $$f(x)=(1-x)\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\ln n-d(n)\right)x^n,~\text{ pour }|x|<1.$$b) En utilisant les estimées
$$\sum\limits_{n=1}^{N} d(n)=N\ln N+(2\gamma-1)N+O\left(\sqrt{N}\right)$$ et $$\sum\limits_{n=1}^N \ln n=N\ln N-N+O(\ln N),$$ montrer que $f(x)\underset{x\nearrow 1}{\rightarrow}-2\gamma,$ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
c) Montrer que $\sum u_n$ converge vers $-2\gamma.$ En déduire que $$\sum\limits_{n\leq x}\Lambda (n)\underset{x\rightarrow +\infty}{\thicksim}x,$$ ce qui équivaut au théorème des nombres premiers.
Pour la qu°a), j'ai utilisé série géométrique, Fubini-Tonelli et sommation par paquets ; pour la b), un théorème Taubérien dû à Frobenius ; et pour la fin de la c), le lemme de Kronecker.
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Réponses
(a) Cette question n'est qu'une conséquence immédiate de l'égalité des séries de Lambert suivantes : si $f$ est une fonction arithmétique quelconque, alors, pour tout $x \in \left[ 0,1 \right[$, on a
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n) x^n}{1-x^n} = \sum_{n=1}^\infty (f \star \mathbf{1})(n) x^n.$$
Voir Pólya et Szegö, Problems and Theorems in Analysis tome 2, Springer, Exercise 65 p. 125.
Il suffit d'appliquer ce résultat à $f = \Lambda$ et $f = \mathbf{1}$, en se souvenant que $\Lambda \star \mathbf{1} = \log$ et $\mathbf{1} \star \mathbf{1} = d$.
(c) La limite obtenue en (b) montre que ta série $\sum u_n$ est sommable au sens de Lambert. Il doit y avoir dans ton livre le résultat suivant : si une série $\sum_n a_n$ converge vers $L$ au sens de Lambert et si $a_n \ll n^{-1}$, alors $\sum_{n=1}^\infty a_n = L$.
Voir A. Peyerimhoff, Lectures on Summability, Springer, New York, 1969, Theorem III.24 page 84. En fait, on a un peu mieux : la sommabilité au sens de Lambert entraîne celle au sens d'Abel.
Ceci dit, culturellement parlant, ils restent souvent présents dans les livres d'introduction à la théorie analytique des nombres et/ou dans certains ouvrages d'analyse avancée.