Limite par un développement limité
Réponses
-
Bonjour
la limite de ton expression est en fait +oo
la méthode des développements en série pour une limite en +oo n'est guère approprié,
mais on peut utiliser des équivalents simples
ton expression peut s'écrire $$A(x) = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^{\frac{e^x - e^{-x}}{2}} - (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$$
tu mets en facteur $(\frac{e^x}{2})^{\frac{e^x}{2}}$ en négligeant en exposant $\frac{e^{-x}}{2}$ qui tend rapidement vers 0
soit A(x) équivalent à $$(\frac{e^x}{2})^{\frac{e^x}{2}}[(1+\frac{1}{2e^{2x}})^{\frac{e^x}{2}} - (1-\frac{1}{2e^{2x}})^{\frac{e^x}{2}}]$$
or $(1 + \frac{1}{2e^{2x}})^{\frac{e^x}{2}}$ a pour équivalent connu $e^{\frac{1}{4e^x}}$ pour x infini
et $(1 - \frac{1}{2e^{2x}})^{\frac{e^x}{2}}$ a pour équivalent $e^{\frac{-1}{4e^x}}$ pour x infini
donc A(x) a pour équivalent $(\frac{e^x}{2})^{\frac{e^x}{2}}[2sh(\frac{1}{4e^x}]$ avec sh(x) sinus hyperbolique
soit encore $(\frac{e^x}{2})^{\frac{e^x}{2}}[\frac{1}{2e^x}]$
et finalement A(x) diverge vers + oo très rapidement comme
$$\frac{1}{2}(\frac{e^x}{2})^{\frac{e^x}{2}}$$
Cordialement.
-
@jean lismonde Ce que tu as fait n'est qu'un développement limité en moins rigoureux. Du coup, c'est faux, car la réponse était bel et bien $-\infty$. Je trouve pour ma part l'équivalent quand $x \to +\infty$ :$$-x e^{-x} e^{(x - \ln(2)) \frac{e^x}{2}}$$
-
Bonjour @jean lismonde etc si une vérification avec ta calculette ?
Bonjour @Bibix tu trouves quoi comme limite en -infty. Ma calculette disjoncte édit en -infty , ce n'est pas définiLe 😄 Farceur -
Bonjour Gebrane.En $-\infty$ tu cherches la limite d'une puissance variable d'un réel négatif variable ($\sinh(x)$) ce qui pose évidemment problème.Maple donne comme limite $-\infty$, mais je ne sais pas exactement ce qu'il calcule - C'est le problème des calculateurs formels, il faudrait connaître complétement comment les calculs ont été implémentés.Cordialement.
-
Posons $t=e^{-2x}.$ Alors \begin{align*}A&=\sinh x\log \cosh x=\frac{e^{x}}{2}(1-t)(x-\log 2+\log(1+t))\\&=\frac{e^{x}}{2}\left(x-\log 2-tx+t(1+\log 2)-\frac{3t^2}{2}+t^2\epsilon_A(t)\right)\end{align*} où $\epsilon_A(t)$ tend vers 0 si $t\to 0$ mais ne dépend pas de $x$ en ce sens que c'est une série entière en $t$, De même, \begin{align*}B&=\cosh x\log \sinh x=\frac{e^{x}}{2}(1+t)(x-\log 2+\log(1-t))\\&=\frac{e^{x}}{2}\left(x-\log 2+tx-t(1+\log 2)-t(1+\log 2)-\frac{3t^2}{2}+t^2\epsilon_B(t)\right).\end{align*}
Posons pour simplifier $p(t) =t(1+\log 2)-\frac{3t^2}{2}.$ Et donc $$e^A-e^B=\exp(\frac{e^{x}}{2}(x-\log 2))\times \left(e^{-tx} e^{\frac{e^{x}}{2}(p(t)+t^2\epsilon_A(t))}-e^{tx} e^{\frac{e^{x}}{2}(p(-t)+t^2\epsilon_B(t))}\right)\sim\exp(\frac{e^{x}}{2}(x-\log 2))\times (-2e^{-2x}x)\times \frac{e^{x}}{2} .$$ On trouve bien $e^A-e^B\xrightarrow[x\to\infty]{}-\infty$ et l’équivalent de Bibix (avec la correction faite par Bibix).
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 1
1 Invité