Limite par un développement limité

Bonjour
la limite de ton expression est en fait +oo
la méthode des développements en série pour une limite en +oo n'est guère approprié,
mais on peut utiliser des équivalents simples
ton expression peut s'écrire $$A(x) = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^{\frac{e^x - e^{-x}}{2}} - (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^{\frac{e^x+e^{-x}}{2}}$$
tu mets en facteur $(\frac{e^x}{2})^{\frac{e^x}{2}}$ en négligeant en exposant $\frac{e^{-x}}{2}$ qui tend rapidement vers 0
soit A(x) équivalent à $$(\frac{e^x}{2})^{\frac{e^x}{2}}[(1+\frac{1}{2e^{2x}})^{\frac{e^x}{2}} - (1-\frac{1}{2e^{2x}})^{\frac{e^x}{2}}]$$
or $(1 + \frac{1}{2e^{2x}})^{\frac{e^x}{2}}$ a pour équivalent connu $e^{\frac{1}{4e^x}}$ pour x infini 
et $(1 - \frac{1}{2e^{2x}})^{\frac{e^x}{2}}$ a pour équivalent $e^{\frac{-1}{4e^x}}$ pour x infini 
donc A(x) a pour équivalent $(\frac{e^x}{2})^{\frac{e^x}{2}}[2sh(\frac{1}{4e^x}]$ avec sh(x) sinus hyperbolique
soit encore $(\frac{e^x}{2})^{\frac{e^x}{2}}[\frac{1}{2e^x}]$
et finalement A(x) diverge vers + oo très rapidement comme
$$\frac{1}{2}(\frac{e^x}{2})^{\frac{e^x}{2}}$$
Cordialement.

Bonjour @jean lismonde  etc si une vérification avec ta calculette ? 

Bonjour @Bibix tu trouves quoi comme limite en -infty. Ma calculette disjoncte  édit  en -infty , ce n'est pas défini 

Posons $t=e^{-2x}.$ Alors \begin{align*}A&=\sinh x\log \cosh x=\frac{e^{x}}{2}(1-t)(x-\log 2+\log(1+t))\\&=\frac{e^{x}}{2}\left(x-\log 2-tx+t(1+\log 2)-\frac{3t^2}{2}+t^2\epsilon_A(t)\right)\end{align*} où $\epsilon_A(t)$ tend vers 0 si $t\to 0$ mais ne dépend pas de $x$ en ce sens que c'est une série entière en $t$, De même, \begin{align*}B&=\cosh x\log \sinh x=\frac{e^{x}}{2}(1+t)(x-\log 2+\log(1-t))\\&=\frac{e^{x}}{2}\left(x-\log 2+tx-t(1+\log 2)-t(1+\log 2)-\frac{3t^2}{2}+t^2\epsilon_B(t)\right).\end{align*}

Posons pour simplifier $p(t) =t(1+\log 2)-\frac{3t^2}{2}.$ Et donc $$e^A-e^B=\exp(\frac{e^{x}}{2}(x-\log 2))\times \left(e^{-tx} e^{\frac{e^{x}}{2}(p(t)+t^2\epsilon_A(t))}-e^{tx} e^{\frac{e^{x}}{2}(p(-t)+t^2\epsilon_B(t))}\right)\sim\exp(\frac{e^{x}}{2}(x-\log 2))\times (-2e^{-2x}x)\times \frac{e^{x}}{2} .$$ On trouve bien $e^A-e^B\xrightarrow[x\to\infty]{}-\infty$ et l’équivalent de Bibix (avec la correction faite par Bibix).