Formalisation d'une non Riemann-intégrabilité
Bonjour,
Notons $f$ la restriction l'indicatrice $\mathbf{1}_{\Q}$ à $[0,1]$. Il est communément montré que $f$ n'est pas Riemann-intégrable grâce aux sommes de Darboux. Toutefois, j'aimerais le montrer avec la définition de la Riemann-intégrabilité.
Mais il me manque un petit passage que je sais vrai informellement mais qui me gène si l'on me demande de justifier complètement.
Voici le passage qui m'embête :
Si $(\varphi,\Psi)\in\mathrm{Esc}([0,1],\mathbf{R})^2$ et $\varphi-\Psi\leqslant f\leqslant\varphi+\Psi$, alors $\varphi-\Psi\leqslant 0\leqslant 1\leqslant \varphi+\Psi$ presque partout (i.e. sauf en nombre fini de points de $[0,1]$).
Je sais que c'est à cause du fait que $f$ va de $0$ à $1$ une infinité de fois et que $\varphi,\Psi$ sont en escalier, et des densités de $\Q$ et $\R\setminus\Q$, mais pour formaliser...
Notons $f$ la restriction l'indicatrice $\mathbf{1}_{\Q}$ à $[0,1]$. Il est communément montré que $f$ n'est pas Riemann-intégrable grâce aux sommes de Darboux. Toutefois, j'aimerais le montrer avec la définition de la Riemann-intégrabilité.
Mais il me manque un petit passage que je sais vrai informellement mais qui me gène si l'on me demande de justifier complètement.
Voici le passage qui m'embête :
Si $(\varphi,\Psi)\in\mathrm{Esc}([0,1],\mathbf{R})^2$ et $\varphi-\Psi\leqslant f\leqslant\varphi+\Psi$, alors $\varphi-\Psi\leqslant 0\leqslant 1\leqslant \varphi+\Psi$ presque partout (i.e. sauf en nombre fini de points de $[0,1]$).
Je sais que c'est à cause du fait que $f$ va de $0$ à $1$ une infinité de fois et que $\varphi,\Psi$ sont en escalier, et des densités de $\Q$ et $\R\setminus\Q$, mais pour formaliser...
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Réponses
Déjà, $f \leqslant 0$ p.p. donc la vraie difficulté serait de montrer $1 \leqslant \varphi + \psi$ p.p. . Par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$, on sait que pour tout intervalle non trivial $I \subset [0,1]$, il existe $q \in I \cap \mathbb{Q}$, ce qui donne $\varphi(q) + \psi(q) \geqslant f(q) \geqslant 1$. Comme $\varphi$ et $\psi$ sont en escalier, cela donne $\varphi + \psi \geqslant 1$ p.p. .
Il n'existe aucun intervalle $I$ de $[0,1]$ tel que $\mathring{I}\neq\emptyset$ et $\forall x\in I$, $\varphi(x)-\Psi(x)>0$ (*). En effet, sinon, par densité de $\R\setminus\Q$ dans $\R$, il existe $y\in (\R\setminus\Q)\cap I$ donc $\varphi(y)-\Psi(y)\leqslant f(y)=0$, contredisant (*).
De même, en utilisant cette fois-ci la densité de $\Q$ dans $\R$, il n'existe aucun intervalle $I$ de $[0,1]$ tel que $\mathring{I}\neq\emptyset$ et $\forall x\in I$, $1>\varphi(x)-\Psi(x)$.
Comme $\varphi$ et $\Psi$ sont en escalier, il existe $p\in\N$ et $(a_i)_{0\leqslant i\leqslant p}$ une subdivision de $[0,1]$ adaptée à $\varphi$ et $\Psi$, donc l'inégalité $\varphi-\Psi\leqslant 0\leqslant 1\leqslant \varphi+\Psi$ est vraie sur $[0,1]\setminus \{a_i\mid i\in [\![0,p]\!]\}$, avec $\{a_i\mid i\in [\![0,p]\!]\}$ fini, d'où le résultat.