Opérateur de $L^2(\C)$
Bonjour.
Soit $\lambda\in \{z\in\C\mid \text{Re}(z)>0\}$. Considérons l'opérateur $T_\lambda: L^2(\R^2)\to L^2(\R^2): f\mapsto T_{\lambda}f(x,y)= \int_{\R^2}f(x-u,y-v) e^{-\frac{\lambda}{4} (u^2+v^2) - i\lambda /2(yu-xv)} dudv$, où $dudv$ est la mesure de Lebesgue sur $\R^2$.
Comment on peut montrer que $T_\lambda(f)\in L^2(\R^2)$ ?
Toute remarque sera la bienvenue. Merci.
Soit $\lambda\in \{z\in\C\mid \text{Re}(z)>0\}$. Considérons l'opérateur $T_\lambda: L^2(\R^2)\to L^2(\R^2): f\mapsto T_{\lambda}f(x,y)= \int_{\R^2}f(x-u,y-v) e^{-\frac{\lambda}{4} (u^2+v^2) - i\lambda /2(yu-xv)} dudv$, où $dudv$ est la mesure de Lebesgue sur $\R^2$.
Comment on peut montrer que $T_\lambda(f)\in L^2(\R^2)$ ?
Toute remarque sera la bienvenue. Merci.
Réponses
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Si je comprends tes notations
$|f(z-w) e^{-\frac{\lambda}{4} |w|^2 - i \text{Im} z\overline(w)} |^2=|f(z-w)|^2 e^{-\frac{\lambda}{2} |w|^2 }\leq |f(z-w)|^2$Le 😄 Farceur -
j'ai oublié un $\lambda$. il faut montrer que $||T_\lambda(f)||_2\leq C ||f||_2$.
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BonjourCela serait bien de donner une définition correcte. Il y a un méli-mélo avec les couples $(x,y)$ et $(u,v)$
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Oui j'ai rectifié
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BonjourJ'ai l'impression que ton résultat est faux. En effet avec j'ai pris $\lambda =\dfrac{1}{4} + i $ et deux exemples $ f(x,y)=e^{-(x^2 +y^2)}$ puis$f(x,y) =\chi_{[0,1]^2} (x,y) $ pour lesquels je ne trouve pas que $T_\lambda (f)$ intégrable.Pour le vérifier j'ai utilisé un logiciel de calcul formel. Je n'ai pas étudié d'avantage ta transformation. Donc il faut vérifier mes dires.Vu l'allure, ton résultat est peut être vrai mais pour un cône de sommet O avec un angle inférieur à $\pi$.
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je ne pense pas, je vais vérfier les calculs
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Bonjour!
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