Produit semi-direct et atermoiements
Bonjour,
Je suis repartie dans les atermoiements concernant le produit semi-direct. Les voici.
1) Pour scinder un groupe $G$ en deux sous-groupes $H$ et $K$, on a besoin que : $G=HK,\ H \cap K = \{1 \}$, et de définir $kh=(1k)(h1)$ puisque le produit est associatif. Donc pour tous $h\in H, k \in K$, il faut qu'il existe $h'$ et $k'$ tels que $kh=h'k'$. Autrement dit, que l'un ou l'autre des sous-groupes soit distingué dans $G$ est une condition suffisante, mais pas nécessaire ?
2) Si on a un produit semi-direct $G=N \rtimes H$ (i.e. $N$ normal dans $G$, avec $G=NH,\ H \cap N = \{1 \}$), alors on a une suite exacte :
$1 \rightarrow N \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 1$, avec $i : N \rightarrow G$, l'inclusion et $p : G \rightarrow H, nh \mapsto h$. Pas de problème sur ça.
Mais la réciproque est fausse : si on a une suite exacte : $1 \rightarrow N \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 1$, on n'a pas forcément les conditions du produit semi-direct, même avec $N$ normal dans $G$ ? On a : $N=im ( i ) = \ker p, H = im (p)$, mais rien ne dit que $\ker p \cap im( p ) = \{1 \}$, ni que $G=NH$ ?
On obtient $H \cong G/N$ (théorème d'isomorphisme : $G/ \ker p \cong im (p)$), mais cet isomorphisme $H \rightarrow G/N$ n'est pas forcément la restriction de la projection sur $G/N$ à $H$, autrement dit $H$ n'est pas forcément un relèvement de $G/N$ ou je me fourvoie complétement ?
Merci d'avance.
PS : j'ai étudié le produit semi-direct dans le livre de Josette Calais sur les groupes, où elle ne parle pas de relèvement ni de section, et je n'ai jamais bien compris, ni maintenant d'ailleurs.
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Réponses
$\dagger$ (1) Une démonstration est que : $\SL_2(F_3)$ a un unique sous-groupe d'ordre 2 son centre $\{\pm \id\}$, si $\SL_2(\F_3)$ avait un sous-groupe d'ordre 12, il contiendrait le centre (Cauchy), donc le quotient $\SL_2(F_3)$ par son centre aurait un sous-groupe d'ordre $6$, mais le quotient est $\A_4$ qui n'a pas de sous-groupe d'ordre $6$,
(2) Une autre démonstration est que : puisque $\SL_2(\F_3)$ n'a qu'un seul élément d'ordre $2$, il ne peut contenir $\A_4$ qui en contient 3.
Tu as raison, dans mon premier message, j'ai zappé l'hypothèse $G\cong N\rtimes G/N$ pour ne conserver que $N\lhd G$.
Ma première réponse ne répond donc pas à la question 2), mais à une question 2') : $N\lhd G$ et $G$ n'admet pas de sous-groupe isomorphe à $G/N$ (pour les groupes d'ordre petit, ce n'est pas si fréquent).
Alain.
&&&&& \mathfrak V_4 \ar@{-}[llu] \\
C_3 \ar@{-}[rrruu] \ar@{.}[r]&C_3 \ar@{-}[rruu] \ar@{.}[r] &C_3 \ar@{-}[ruu] \ar@{.}[r] &C_3 \ar@{-}[uu] \\
&&&&C_2 \ar@{-}[ruu] \ar@{.}[r]&C_2 \ar@{-}[uu] \ar@{.}[r]&C_2 \ar@{-}[luu]\\
&&&\{1\} \ar@{-}[rrru] \ar@{-}[rru] \ar@{-}[ru] \ar@{-}[uu] \ar@{-}[luu] \ar@{-}[lluu] \ar@{-}[llluu] }$$
Si on reprend le treillis de $\SL_2(\F_3)$, on remarque que le sous-treillis entre $\SL_2(\F_3)$ et son centre d'ordre $2$ est exactement le treillis de $\A_4$ dessiné ci-dessus. Ce n'est pas le fruit du hasard, mais celui d'un théorème, que j’appelle théorème du treillis-quotient, disant que la projection canonique sur le quotient forme un isomorphisme de treillis (bijection croissante et de réciproque croissante) entre le treillis du groupe quotient et le sous-treillis compris entre le groupe et le sous-groupe distingué par lequel on quotiente.
Par ailleurs, on voit que $\A_4$ est engendré par un $3$-cycle et une double-transposition, car le plus petit sous-groupe les contenant est $\A_4$ tout entier.
On veut partir de $\PSL_2(\F_3)$, c'est-à-dire du quotient de $\SL_2(\F_3)$ par son centre $\{\pm\id_2\}$, en identifiant le sous-treillis entre $\SL_2(\F_3)$ et son centre, au treillis de $\A_4$. On est donc amené à prendre une matrice d'ordre 6 dans $\SL_2(\F_3)$, par exemple $\left(\begin{smallmatrix}0&2\\1&1\end{smallmatrix}\right) \mod{\{\pm\id_2\}}$ qui est donc d'ordre $3$ dans $\PSL_2(\F_3)$ et l'envoyer sur un $3$-cycle de $\A_4$, par exemple $a=(1\,2\,3)$, et pareillement prendre une matrice d'ordre $4$, par exemple $\left(\begin{smallmatrix}0&1\\2&0\end{smallmatrix}\right)$ qui est donc d'ordre $2$ dans $\PSL_2(\F_3)$, que l'on va envoyer sur une double transposition de $\A_4$, par exemple $b=(1\,2)(3\,4)$.
$^\dagger$ Connaissant la présentation $\A_4=\langle a,b\mid a^3=1,\ b^2=1,\ (ba)^3=1\rangle$ où $a$ et $b$ sont définis ci-dessus, il faut vérifier que les deux matrices choisies dans $\SL_2(\F_3)$ satisfont les mêmes relations, en se rappelant que l'on travaille dans $\PSL_2(\F_3)$ et donc que les calculs se font $\mod \{\pm \id_2\}$.