Question à propos de la résolution d'un système d'équations non linéaires

Shalachaska · September 2022

Bonjour

Si on a un système à $n$ équations tel que la $k$-ième équation soit définie comme cela : $\ \displaystyle f_k=\prod_{i=1}^nx_i^{\alpha_{k,i}}=\lambda_i$, avec $\alpha_{k,i}$ la $i$-ème puissance de la $k$-ième équation, est-ce que l'on peut faire comme je pense, utiliser le logarithme complexe pour pouvoir transformer l'équation en $\ \displaystyle \sum_{i=1}^n\alpha_{k,i}\log(x_i)=\log(\lambda_i)$ ?

Évidemment, tous les $x_i, \alpha_{i,k}, \lambda_i$ sont différents de $0$.

etanche · September 2022

Avec $y_i=\ln(x_i)$ sous réserve $x_i>0$ tu as un système linéaire.

gerard0 · September 2022

Bonjour.

J'imagine qu'il s'agit de $\displaystyle f_k=\prod_{i=1}^nx_i^{\alpha_{k,i}}=\lambda_{\bold k}$

A priori, ce n'est pas correct, les log n'ayant aucune raison d'exister. Par contre, si on résout dans $\mathbb R^{+n}$, et si les $\lambda_i $ sont tous positifs, ce n'est que la règle habituelle sur le logarithmes.

Cordialement.

gerard0 · September 2022

On peut cependant s'y ramener en notant que si $(x_1,x_2, ...x_n)$ est une solution, alors $(|x_1|,|x_2|,...|x_n|)$ est une solution de $\prod_{i=1}^n|x_i|^{\alpha_{k,i}}=|\lambda_i|$. Ce qui va donner $2^n$ solutions possibles, à vérifier.

Cordialement.

Bibix · September 2022

En fait, dans ce genre de cas, on pose classiquement $x_k = e^{\rho_k} e^{i \theta_k}$ avec $\rho_k, \theta_k \in \mathbb{R}$. On obtient alors un système linéaire de $2 n$ équations réelles. Cela évite les problèmes de définiton liés au $\log$ (ou plutôt cela les met en évidence) .

Question à propos de la résolution d'un système d'équations non linéaires

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 31