Faulhaber-Knuth
Bonjour,
Voici une courte note sur un sujet éculé : les sommes $\sum_{k=1}^n k^p$. Tout retour est le bienvenu.
Sommation itérée d'une puissance impaire des premiers entiers - Archive ouverte HAL (archives-ouvertes.fr)
M
Voici une courte note sur un sujet éculé : les sommes $\sum_{k=1}^n k^p$. Tout retour est le bienvenu.
Sommation itérée d'une puissance impaire des premiers entiers - Archive ouverte HAL (archives-ouvertes.fr)
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Réponses
Il est bien connu que $$\sum_{k=1}^n k^3 = \binom{n+1}{2} ^2
$$ Il est moins connu que $$
\sum_{k=1}^n \sum_{\ell=1}^{k} \ell^3 = \frac{3}{10}\left(n^2+2n+\frac{1}{3}\right) \binom{n+2}{3}
$$Dans la note ci-dessus, j'explique comment généraliser en$$\sum_{k_1=1}^n \sum_{k_2=1}^{k_1} \cdots \sum_{k_r=1}^{k_{r-1}} k_r^{2i-1} = \text{un polynôme en } \left(n+r\right)n \text{ à coefficients rationnels} \times \binom{n+r}{r+1}
$$C'est vieux (Faulhaber, première moitié du 17ème siècle). Il semble que la première démonstration rigoureuse soit due à Knuth (années 90), pour laquelle il introduit la notion de fonction $r$-réflexive. En piquant des idées dans son propre article, j'ai l'impression de faire plus rapide et plus explicite que lui.
Edit : correction. Merci @jandri.
Ta démonstration est très courte et élémentaire, j'avais seulement été un peu découragé en voyant l'expression de $\Pi_{i,r}$ en fonction des $a_{i,j}$ et des $P_{i,r}$ eux-mêmes un peu compliqués.
Mais pour une application numérique (par exemple $r=3$ et $i=2$ ou $i=3$) le résultat est simple.
Dans la note en pièce jointe, mieux rédigée et plus complète que la précédente, je démontre une propriété de l'endomorphisme
$$
\Sigma :
\left\{
\begin{array}{ccc}
\mathbf{Q}\left[X\right] & \longrightarrow & \mathbf{Q}\left[X\right]\\
P & \longmapsto & \left(n\in \N \mapsto \sum_{k=1}^n P\left(k\right)\right)
\end{array}
\right.
$$
Plus précisément, cela concerne l'itération de $\Sigma$. Le résultat en question date de la première moitité du 17ème siècle ! Je pense que la première démonstration remonte aux années 1990, ce qui est sûrement dû à l'oubli plutôt qu'à la difficulté.
Je confirme le résultat de Jandri concernant la somme S(n) de Magnétorax, somme que l'on peut écrire :
$S(n) = \Sigma_{k=1}^{n}[\frac{k(k+1)}{2}]^2 = \frac{1}{4}\Sigma_1^nk^4 + \frac{1}{2}\Sigma_1^n.k^3 + \frac{1}{4}\Sigma_1^nk^2$
et en utilisant les formules de sommation bien connues, il vient
$S(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2 + 3n -1)}{120} + \frac{n^2(n+1)^2}{8} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
et après réduction et factorisation ultime il vient
$S(n) = \frac{n(n+1)(n+2)(3n^2 + 6n + 1)}{60}$
remarque sur les polynômes factoriels (ici prospectifs et au carré)
ils interviennent assez souvent en algèbre et analyse
en particulier dans la détermination des formules de sommation $S_p(n)$
avec $S_p(n) = 1 + 2^p + 3^p + .............+ n^p$
par exemple pour $S_{p-1}(n)$ et les polynômes factoriels rétrospectifs en p entier naturel
$$(n+1)^p = pS_{p-1}(n) + \frac{p(p-1)}{2!}S_{p-2}(n) +........+\frac{p(p-1)(p-2).....(p-k+1)}{k!}S_{p-k}(n) + .....+ pS_1(n) + n + 1$$
Faulhaber les a étudiés précisément début 17ème siècle
mais Viète fin 16ème siècle, mathématicien français et ministre du roi Henri III
avait déjà déterminé les formules de sommation (qui intéressent notre ami Magnétorax) jusqu'à p = 10
on peut démontrer que ces formules de sommation à partir de p = 4
ne sont pas factorisables complètement en binômes affines
mais le terme $\frac{n(n+1)}{2}$ apparaît toujours devant en facteur
d'autre part il existe une autre relation de récurrence entre les $S_p(n)$ par l'intermédiaire des nombres Q de Newton soit
$Q_pS_p(n-1) + Q_{p-1}S_{p-1}(n-1) + ...............+ Q_1S_1(n-1) + Q_0S_0(n-1) = 0$
enfin il faut signaler les liens de $S_p(n)$ avec les polynômes de Bernoulli $A_{p+1}(x)$ de variable x réelle et d'indice p + 1
soit $S_p(n) = \frac{A_{p+1}(n+1) - A_{p+1}(0)}{p+1}$
Cordialement